Découvrez ce sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale technologique, entièrement dédié au chapitre de la fonction logarithme. Ce devoir, d'une durée d'1h30, est un excellent outil de révision qui aborde des applications concrètes et variées du logarithme décimal. Chaque exercice est conçu pour évaluer la capacité des élèves à modéliser des situations, à résoudre des équations et inéquations, et à mener un raisonnement structuré. Ce document est idéal pour s'entraîner en conditions réelles, avec la calculatrice autorisée en mode examen.

Ce contrôle corrigé couvre plusieurs compétences clés du programme, notamment l'étude de suites géométriques, la manipulation des pourcentages et des taux d'évolution, ainsi que la résolution de problèmes complexes grâce à l'outil logarithmique.

Exercice 1 : La friperie en ligne de Lou (8 points)

Cet exercice est une étude de cas économique complète sur la croissance d'une entreprise. Il se décompose en trois parties :

• Partie A - Quatre années de croissance : L'élève doit d'abord calculer un taux d'évolution global. Ensuite, il s'agit de modéliser le taux d'évolution annuel moyen t à travers une équation de la forme \(x^4 = k\), où \(x = 1+t\). La résolution de cette équation se fait impérativement à l'aide du logarithme décimal. C'est une application directe de la formule \(\log(a^n) = n \log(a)\).
• Partie B - Les prévisions : Cette partie modélise l'évolution future du chiffre d'affaires à l'aide d'une suite géométrique de la forme \(C(n) = 105000 \times 1,15^n\). Les questions amènent à résoudre des inéquations pour déterminer à partir de quand un certain seuil sera dépassé, ou quand la valeur aura doublé. Par exemple, il faut résoudre \(1,15^n \geq 2\).
• Partie C - Un entrepôt à financer : Une application financière où il faut déterminer le nombre d'annuités n nécessaires pour rembourser un prêt. Cela revient à résoudre une inéquation du type \(1,04^n \geq \frac{10}{7}\), encore une fois grâce aux logarithmes.

Exercice 2 : L'hebdomadaire en baisse (copie d'un élève) (5 points)

Cet exercice très formateur propose d'analyser et de corriger la copie d'un élève. Le contexte est celui d'une diffusion en baisse, modélisée par une suite géométrique de raison inférieure à 1. L'objectif est de trouver à partir de quand la diffusion passera sous un certain seuil.

L'analyse de la copie met en lumière une erreur classique lors de la résolution d'inéquations avec les logarithmes : la division par un nombre négatif. En effet, pour résoudre \(0,92^n < \frac{10}{21}\), on applique le logarithme : \(n \log(0,92) < \log(\frac{10}{21})\). Comme \(0,92 < 1\), son logarithme \(\log(0,92)\) est négatif. La division par ce nombre doit donc inverser le sens de l'inégalité, ce que l'élève a omis de faire. Cet exercice évalue la rigueur et la compréhension des propriétés de la fonction logarithme.

Exercice 3 : Combien de caractères pour un mot de passe ? (4 points)

Il s'agit d'une question ouverte qui fait appel à la modélisation et au raisonnement. Le problème est ancré dans un contexte moderne de cybersécurité. Pour y répondre, il faut :

• Dénombrer : Calculer le nombre de caractères possibles (minuscules, majuscules, chiffres), soit 62. En déduire le nombre de mots de passe de longueur L, qui est \(62^L\). C'est un problème de dénombrement (p-listes ou k-uplets).
• Modéliser : Mettre en relation le nombre total de mots de passe, la vitesse de test du pirate (\(10^{10}\) par seconde) et le temps. On doit vérifier si pour \(L=10\), le temps nécessaire dépasse 1000 ans, puis trouver la longueur minimale L pour que ce soit le cas.
• Résoudre : La question mène à la résolution d'une inéquation de la forme \(\frac{62^L}{Vitesse} \geq Temps_{minimum}\). La présence de l'inconnue L en exposant et des très grands nombres impliqués rend l'utilisation des logarithmes indispensable pour trouver la solution.

Exercice 4 : Un grand nombre et une équation (3 points)

Cet dernier exercice revient sur deux applications fondamentales du logarithme :

• Nombre de chiffres d'un entier : La première question demande de trouver le nombre de chiffres de \(7^{50}\). C'est une application directe du logarithme décimal : le nombre de chiffres d'un entier N est la partie entière de \(\log_{10}(N)\) plus un. Il faut donc calculer \(50 \times \log(7)\) et interpréter le résultat.
• Résolution d'équation exponentielle : La deuxième question consiste à résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(2^x = 3^{x-1}\). L'inconnue x apparaissant dans les exposants de deux bases différentes, le passage par les logarithmes est la méthode à privilégier. En appliquant la fonction log de chaque côté, on transforme les puissances en produits pour isoler x et trouver sa valeur exacte en fonction de \(\log(2)\) et \(\log(3)\).

En conclusion, ce sujet de bac blanc pour Terminale technologique est un excellent test pour maîtriser toutes les facettes de la fonction logarithme, de ses propriétés algébriques à ses applications dans des problèmes concrets issus de l'économie, de l'informatique ou des mathématiques pures.