Contrôle Corrigé de Mathématiques : Fonction Inverse en Terminale Technologique

Découvrez notre sujet de contrôle corrigé de mathématiques, spécialement conçu pour les élèves de Terminale Technologique. Ce devoir d'une heure porte sur le chapitre crucial de la fonction inverse et ses applications, notamment à travers l'étude de fonctions, la dérivation et l'optimisation. Idéal pour s'entraîner et réviser avant une évaluation, ce document contient trois exercices complets avec des problématiques concrètes et des questions de type QCM. Préparez-vous efficacement en analysant l'étude d'un coût de production, en maîtrisant le calcul de dérivées et en dressant des tableaux de variation pour trouver des extremums.

Exercice 1 – Le café d'une petite torréfaction (10 points)

Cet exercice est une étude de fonction complète appliquée à un contexte économique : l'analyse des coûts d'une entreprise de torréfaction. Il permet de mobiliser les compétences d'analyse, de calcul et d'interprétation. La fonction de coût total est donnée par \( C(q) = 0,02 q^2 + 6q + 450 \) pour une production \( q \) comprise entre 20 et 250 kg.

• Partie A : Le coût moyen d'un kilogramme
  • Question 1 : Calcul d'images pour le coût total et le coût moyen \( C_M(q) = \frac{C(q)}{q} \). Une application directe des formules est demandée pour \( q=50 \).
  • Question 2 : Simplification algébrique pour montrer que l'expression du coût moyen est \( C_M(q) = 0,02q + 6 + \frac{450}{q} \).
  • Question 3 : Calcul de la fonction dérivée \( C'_M(q) \). Il faut ici maîtriser la dérivée de la fonction inverse (la dérivée de \( 1/q \) est \( -1/q^2 \)) et aboutir à la forme factorisée \( C'_M(q) = \frac{0,02(q-150)(q+150)}{q^2} \).
  • Question 4 : Étude de signe de la dérivée et construction du tableau de variation de la fonction de coût moyen \( C_M \) sur l'intervalle \( [20; 250] \). Cette question a pour but de déterminer le minimum de la fonction.
• Partie B : Vendre le café
  • Question 5 : Résolution d'une inéquation. À l'aide du tableau de variation, il faut trouver les productions \( q \) pour lesquelles le coût moyen ne dépasse pas le prix de vente de 16€.
  • Question 6 : Problème d'optimisation. Il s'agit de formuler un conseil de gestion en se basant sur les résultats mathématiques : quelle est la production qui minimise le coût moyen, et quelle est la production minimale pour être rentable ?

Exercice 2 – Inverses et dérivées (QCM justifié, 6 points)

Ce deuxième exercice prend la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Chaque réponse doit être justifiée, ce qui teste à la fois la rapidité et la rigueur du raisonnement. Les thèmes abordés sont les propriétés de la fonction inverse, le calcul de dérivées et l'équation de la tangente.

• Question 1 : Application des propriétés de la fonction inverse. Sachant que \( 0 < x < 10^{-3} \), il faut utiliser le sens de variation de la fonction inverse pour encadrer \( 1/x \).
• Question 2 : Calcul de la dérivée d'une fonction \( f(x) = x^3 - 4x + \frac{2}{x} \). Cela demande une maîtrise parfaite des formules de dérivation des fonctions puissance et de la fonction inverse.
• Question 3 : Détermination de l'équation de la tangente à la courbe de la fonction inverse au point d'abscisse 2, en utilisant la formule \( y = f'(a)(x-a) + f(a) \).
• Question 4 : Recherche du minimum d'une fonction \( g(x) = 2x + \frac{8}{x} \) sur l'intervalle \( ]0; +\infty[ \). La méthode consiste à dériver la fonction, étudier le signe de la dérivée et dresser le tableau de variation pour identifier l'extremum.

Exercice 3 – Un minimum à localiser (4 points)

Ce dernier exercice est une autre étude de fonction, plus concise, qui vise à confirmer la maîtrise des outils d'analyse pour trouver la valeur minimale d'une fonction sur un intervalle donné. La fonction étudiée est \( h(x) = x^2 + \frac{54}{x} \) sur \( [1; 6] \).

• Question 1 : Calcul de la dérivée de la fonction \( h(x) \) et simplification de l'expression pour obtenir la forme demandée \( h'(x) = \frac{2(x^3 - 27)}{x^2} \).
• Question 2 : Étude du signe de la dérivée. En s'appuyant sur le sens de variation de la fonction cube, on déduit le signe de \( x^3 - 27 \), puis celui de \( h'(x) \). On dresse ensuite le tableau de variation de \( h \) sur l'intervalle \( [1; 6] \) pour en déduire sa valeur minimale.