Découvrez le corrigé complet d'un sujet de maths de niveau Première STI2D portant sur le chapitre des probabilités conditionnelles et les automatismes. Ce contrôle, d'une durée d'une heure, est conçu pour évaluer la maîtrise des outils fondamentaux tels que les arbres pondérés et les tableaux croisés d'effectifs, ainsi que la compréhension de concepts clés comme l'indépendance d'événements et le calcul de probabilités conditionnelles. Chaque exercice est analysé en détail pour vous aider à progresser et à préparer efficacement vos examens.

Exercice 1 : Automatismes (QCM)

Ce premier exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) de 5 questions visant à vérifier rapidement les connaissances de base et les réflexes acquis sur le chapitre. Il couvre les définitions et formules essentielles.

• Question 1 : On teste la connaissance de la formule de l'événement contraire. Si \(P(A) = 0,3\), la probabilité de l'événement contraire \(P(\bar{A})\) se calcule par \(P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,3 = 0,7\).
• Question 2 : Cette question porte sur le principe de calcul de la probabilité d'un chemin (une intersection d'événements) sur un arbre pondéré. La règle est de multiplier les probabilités rencontrées sur les branches qui composent ce chemin.
• Question 3 : Il s'agit d'un calcul de probabilité simple dans un contexte d'équiprobabilité. Avec 10 personnes portant des lunettes sur un total de 40, la probabilité est de \( \frac{10}{40} = 0,25 \).
• Question 4 : La question évalue la connaissance de la notation des probabilités conditionnelles. La notation \(P_A(B)\) signifie "probabilité de l'événement B sachant que l'événement A est réalisé".
• Question 5 : On aborde ici la notion d'événements indépendants. Si deux épreuves sont indépendantes, la probabilité que les deux réussissent est le produit de leurs probabilités individuelles : \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\). Ici, \(0,1 \times 0,1 = 0,01\).

Exercice 2 : Sport en club et internat

Cet exercice est un problème classique qui se résout à l'aide d'un tableau croisé d'effectifs. L'objectif est de savoir organiser les données, puis de calculer diverses probabilités simples, d'intersections et conditionnelles, et enfin d'interpréter les résultats en termes d'indépendance.

• Question 1 : La première étape consiste à recopier et à compléter le tableau d'effectifs à partir des données de l'énoncé (200 élèves au total, 80 internes, etc.). Il faut en déduire les effectifs manquants par soustraction.
• Question 2 : On demande de calculer des probabilités de base : \(P(I)\) (être interne), \(P(S)\) (faire du sport) et \(P(I \cap S)\) (être interne ET faire du sport). Ces calculs se font en divisant l'effectif concerné par l'effectif total.
• Question 3 : Cette question introduit le calcul de probabilités conditionnelles : la probabilité qu'un élève fasse du sport sachant qu'il est interne, notée \(P_I(S)\), et la probabilité qu'il fasse du sport sachant qu'il est externe, notée \(P_{\bar{I}}(S)\). On utilise la formule \(P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\).
• Question 4 : Il faut comparer les probabilités conditionnelles \(P_I(S)\) et \(P_{\bar{I}}(S)\) avec la probabilité simple \(P(S)\). Si \(P_I(S) \neq P(S)\), alors les événements I et S ne sont pas indépendants.
• Question 5 : Le but est de calculer \(P_S(I)\), c'est-à-dire la probabilité qu'un élève soit interne sachant qu'il pratique un sport. On doit expliquer pourquoi ce résultat est différent de \(P_I(S)\), mettant en évidence que l'ordre de la condition est crucial.

Exercice 3 : Deux feux tricolores

Cet exercice modélise une situation de probabilités avec des événements indépendants, impliquant la rencontre de deux feux tricolores. L'outil privilégié ici est l'arbre de probabilités.

• Question 1 : Il est demandé de construire un arbre pondéré pour représenter la situation. L'arbre aura deux niveaux, un pour chaque feu, avec les branches "Vert" (V, probabilité 0,6) et "Non Vert" (\(\bar{V}\), probabilité 0,4).
• Question 2 : On calcule la probabilité que les deux feux soient verts, ce qui correspond au chemin V-V sur l'arbre. Puisque les événements sont indépendants, \(P(V_1 \cap V_2) = P(V_1) \times P(V_2) = 0,6 \times 0,6\).
• Question 3 : On calcule la probabilité qu'aucun des deux feux ne soit vert, correspondant au chemin \(\bar{V}\)-\(\bar{V}\). Le calcul est \(0,4 \times 0,4\).
• Question 4 : On calcule la probabilité qu'exactement un seul feu soit vert. Cela correspond à deux chemins sur l'arbre : V-\(\bar{V}\) et \(\bar{V}\)-V. On calcule la probabilité de chaque chemin et on les additionne.
• Question 5 : La dernière question demande de vérifier que la somme des probabilités des événements "0 feu vert", "1 feu vert" et "2 feux verts" est égale à 1. C'est une application de la formule des probabilités totales, car ces trois événements forment une partition de l'univers.

Question 6 (indépendance) : on traduit en contexte l'indépendance des couleurs des deux feux et on en déduit \(P_{V_1}(V_2)\), puis on explique pourquoi deux feux synchronisés (le second presque toujours rouge quand le premier est vert) ne peuvent pas être indépendants.

Exercice 4 : Trois jours de bus

Ce dernier exercice, plus ouvert, décrit la répétition de trois épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (le bus est en retard ou non). Il s'agit d'une introduction au schéma de Bernoulli et à la loi binomiale, bien que le terme ne soit pas explicitement mentionné.

• Question 1 : On demande de réfléchir à la taille de l'arbre qui modéliserait la situation sur trois jours. Avec 2 issues à chaque fois, l'arbre comporterait \(2^3 = 8\) chemins (ou feuilles).
• Question 2 : On calcule la probabilité que le bus ne soit jamais en retard sur les trois jours. Avec une probabilité de retard de 0,2, la probabilité de ne pas être en retard est de 0,8. Le calcul est donc \(0,8 \times 0,8 \times 0,8 = 0,8^3\).
• Question 3 : On utilise l'événement contraire pour calculer la probabilité que le bus soit en retard au moins une fois. C'est 1 moins la probabilité qu'il ne soit jamais en retard.
• Question 4 : Il faut calculer la probabilité qu'il soit en retard exactement une fois. Il y a trois scénarios possibles (retard le jour 1, ou le jour 2, ou le jour 3). Chaque scénario a une probabilité de \(0,2 \times 0,8 \times 0,8\). On additionne donc trois fois cette valeur.
• Question 5 : On calcule la probabilité que le bus soit en retard les trois jours, soit \(0,2^3\).
• Question 6 : La question finale est une question d'interprétation et de critique. Il faut expliquer pourquoi l'affirmation "en retard un jour sur cinq, donc sur trois jours il sera en retard une fois" est fausse, en s'appuyant sur le calcul de la question 4 qui ne donne pas \(1/3\). Cela permet de distinguer probabilité et déterminisme.