Ce contrôle de mathématiques pour le niveau Première STI2D est une évaluation complète sur le chapitre de la trigonométrie. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, ce sujet teste en profondeur la maîtrise des concepts fondamentaux du cercle trigonométrique, des fonctions sinus et cosinus, et de la résolution d'équations. Il est structuré en quatre exercices progressifs, allant des automatismes de base à l'analyse d'un signal périodique, un contexte très pertinent pour les filières technologiques. Ce document est un excellent outil de révision, proposant un véritable sujet de maths corrigé pour s'entraîner et valider ses acquis.

Exercice 1 : Automatismes (QCM)

Ce premier exercice est un questionnaire à choix multiples conçu pour vérifier rapidement les savoir-faire essentiels et les connaissances de base en trigonométrie. Chaque question aborde un point clé du cours :

• Conversion d'angles : La première question demande de convertir la mesure d'un angle de degrés en radians, spécifiquement \(60^\circ\), une valeur remarquable qu'il faut savoir associer à \(\frac{\pi}{3}\) radians.
• Valeurs remarquables : La deuxième question évalue la connaissance des valeurs exactes des cosinus et sinus pour les angles de référence. Il s'agit ici de donner la valeur de \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\), qui est \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
• Mesure principale : La troisième question porte sur la capacité à trouver la mesure principale d'un angle donné en radians, \(\frac{9\pi}{4}\). L'élève doit savoir retirer les tours complets (multiples de \(2\pi\)) pour ramener l'angle dans l'intervalle \(]-\pi, \pi]\).
• Angles associés : La quatrième question teste la simplification d'expressions trigonométriques à l'aide des formules des angles associés. Il faut simplifier \(\cos(\pi + x)\), qui est égal à \(-\cos x\).
• Fonctions trigonométriques : La dernière question introduit les fonctions sinusoïdales et demande d'identifier l'amplitude de la fonction définie par \(t \mapsto 5 \sin(2t)\). C'est une lecture directe du coefficient devant la fonction sinus.

Exercice 2 : Lire le cercle trigonométrique

Cet exercice se concentre sur la lecture et l'interprétation du cercle trigonométrique, un outil central du chapitre. À partir d'un cercle sur lequel quatre points A, B, C, et D sont placés, l'élève doit :

1. Identifier la mesure principale en radians de l'angle associé à chaque point. Cela demande une bonne visualisation des angles remarquables et de leur positionnement dans les différents quadrants.
2. En déduire les valeurs exactes des cosinus et sinus correspondants. Il s'agit de lire les coordonnées (abscisse pour le cosinus, ordonnée pour le sinus) de ces points sur le cercle unité.
3. Exploiter une symétrie géométrique. Les points A et B étant symétriques par rapport à l'axe des abscisses, il faut expliquer les conséquences sur leurs cosinus (identiques) et leurs sinus (opposés). C'est une approche géométrique de la parité des fonctions cosinus et sinus.

Exercice 3 : Équations et angles associés

Cet exercice augmente la difficulté en abordant la résolution d'équations trigonométriques et la simplification d'expressions plus complexes. Les compétences évaluées sont :

• La résolution d'équations de la forme \(\cos x = a\) et \(\sin x = b\) sur un intervalle restreint, ici \(]-\pi; \pi]\). Les équations proposées sont \(2 \cos x - 1 = 0\) et \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
• La simplification d'expressions en utilisant les formules des angles associés. Par exemple, réduire \(A = \cos(\pi - x) + \cos(-x)\) et \(B = \sin(\pi + x) + \sin(\pi - x)\). Une maîtrise de ces formules est indispensable.
• L'utilisation de la relation fondamentale de la trigonométrie, \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\). Étant donné \(\cos x = \frac{1}{3}\) et le quadrant de \(x\) (\(x \in [\frac{\pi}{2}; \pi]\)), il faut déterminer la valeur exacte de \(\sin x\), en faisant attention au signe.

Exercice 4 : Un signal périodique

Le dernier exercice met en application les connaissances trigonométriques dans un contexte de signal périodique, typique de la physique ou des sciences de l'ingénieur. À partir de la courbe représentative de la fonction \(f(t) = 4 \sin(\pi t)\) :

• Lecture graphique : La première question demande une lecture directe de l'amplitude (la hauteur maximale) et de la période (la durée d'un cycle complet) du signal.
• Calcul de la période : Il faut ensuite retrouver la période par le calcul en utilisant la formule \(T = \frac{2\pi}{\omega}\), reliant la période à la pulsation \(\omega\) de la fonction.
• Calcul d'images : Un simple calcul d'images est demandé pour des valeurs spécifiques de \(t\).
• Résolution d'équations : Les dernières questions consistent à résoudre des équations comme \(f(t) = 0\) et \(f(t) = 4\) sur l'intervalle d'étude, puis de vérifier que les solutions mathématiques correspondent bien aux observations faites sur le graphique.

En conclusion, ce sujet de trigonométrie de Première STI2D est très complet. Il assure une évaluation des compétences allant de la connaissance directe du cours à la résolution de problèmes en passant par l'analyse graphique.