Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Terminale STI2D est entièrement consacré au chapitre des suites arithmétiques et géométriques. D'une durée d'1h30, il est composé de trois exercices progressifs qui évaluent la maîtrise des formules, la capacité à modéliser des situations concrètes et l'esprit critique. C'est un excellent support pour s'entraîner et réviser avant une évaluation.

Exercice 1 : Maîtrise des formules de base

Cet exercice de 8 points est une série de questions indépendantes conçues pour vérifier la connaissance directe des définitions et formules des suites arithmétiques et géométriques.

• Question 1 : On part d'une suite arithmétique \( (u_n) \) définie par ses termes \( u(0) = 2 \) et \( u(12) = 38 \). L'objectif est de retrouver sa raison \( r \) en utilisant la formule \( u_n = u_p + (n-p)r \), puis de donner son expression explicite sous la forme \( u_n = u_0 + nr \).
• Question 2 : Il s'agit de calculer la somme des 50 premiers entiers : \( S = \sum_{k=1}^{50} k = 1 + 2 + \dots + 50 \). Cet exercice applique directement la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique : \( S = \frac{\text{nombre de termes} \times (\text{premier terme} + \text{dernier terme})}{2} \).
• Question 3 : Sous forme de QCM, cette question porte sur une suite géométrique \( (w_n) \) dont on connaît \( w(0) = 5 \) et \( w(4) = 405 \). Il faut déterminer la raison \( q \) de la suite en résolvant l'équation \( w(4) = w(0) \times q^4 \).
• Question 4 : Cette question est un problème de modélisation. Une population de 15 000 habitants subit une diminution annuelle de 2%. Il faut reconnaître ici une suite géométrique de raison \( q = 1 - \frac{2}{100} = 0.98 \), exprimer le nombre d'habitants \( u_n \) après \( n \) années, et calculer cette valeur pour \( n=10 \).

Exercice 2 : Deux placements

Ce second exercice de 8 points compare deux façons de faire fructifier 15 000 € : un placement A à intérêts composés de 2,5 % par an et un placement B qui rapporte 450 € d'intérêts fixes chaque année. C'est la confrontation directe entre une suite géométrique et une suite arithmétique.

• Questions 1 à 3 : on calcule les premiers termes, puis on reconnaît la nature de chaque suite. Le capital B augmente d'un montant constant : \( b(n) = 15000 + 450n \) est arithmétique de raison 450. Le capital A est multiplié chaque année par 1,025 : \( a(n) = 15000 \times 1{,}025^n \) est géométrique de raison 1,025.
• Question 4 : au bout de 10 ans, on calcule \( a(10) \) et \( b(10) \) pour savoir quel placement est le plus avantageux.
• Questions 5 et 6 : à l'aide du tableau de valeurs de la calculatrice, on cherche quand chacun atteint 18 000 €, puis à partir de quand le placement A dépasse le placement B. On explique pourquoi une croissance exponentielle finit toujours par dépasser une croissance linéaire.

Exercice 3 : Où est l'erreur ?

Ce dernier exercice de 4 points est un exercice d'analyse et de raisonnement. Il ne s'agit pas seulement de calculer, mais d'analyser une copie d'élève pour y déceler une erreur de logique.

• Contexte : Un élève calcule la somme des termes d'une suite arithmétique \( S = \sum_{n=3}^{20} u(n) \). La suite est définie par \( u_n = 4 + 5n \).
• Questions 1 à 3 : Il faut d'abord valider les calculs intermédiaires de l'élève (termes initiaux et finaux). Ensuite, on est guidé par une observation clé : la suite est à termes entiers, donc sa somme doit être un entier. Le résultat de l'élève (1045,5) est un nombre décimal, ce qui prouve l'existence d'une erreur sans même refaire le calcul. L'erreur à identifier est classique : un mauvais décompte du nombre de termes dans la somme. Il y a \( 20 - 3 + 1 = 18 \) termes, et non \( 20 - 3 = 17 \).
• Question 4 : La dernière question demande de rédiger le calcul correct de la somme \( S \) en utilisant la bonne valeur pour le nombre de termes.

En conclusion, ce contrôle de maths de Terminale STI2D est un sujet complet et équilibré qui aborde toutes les compétences essentielles sur les suites numériques. Il mêle calculs directs, modélisation et raisonnement critique.