Découvrez le corrigé détaillé d'un contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale STI2D. Ce sujet, d'une durée de 2 heures, porte sur deux chapitres clés du programme : les suites arithmétiques et géométriques et la dérivation globale de fonctions. Il est idéal pour s'entraîner et valider ses compétences grâce à des problèmes concrets et progressifs.

Ce contrôle corrigé est structuré en deux exercices principaux, permettant d'évaluer la capacité à modéliser une situation, à analyser et comparer des modèles, et à optimiser une fonction pour prendre une décision.

Exercice 1 : Deux scénarios pour une unité de méthanisation

Cet exercice propose une mise en situation réaliste autour de la production de biogaz. L'objectif est de comparer deux modèles d'augmentation de la production sur le long terme.

• Scénario A : Une augmentation constante de 250 m³ par mois, ce qui correspond à une suite arithmétique.
• Scénario B : Une augmentation en pourcentage de 4,5% par mois, ce qui correspond à une suite géométrique.

La résolution de cet exercice passe par plusieurs étapes :

1. Modélisation (Partie A) : Il faut d'abord identifier la nature de chaque suite. Pour le scénario A, la suite \((a_n)\) est arithmétique de premier terme \(a_0 = 4200\) et de raison \(r = 250\). Son expression explicite est donc \(a_n = 4200 + 250n\). Pour le scénario B, la suite \((b_n)\) est géométrique de premier terme \(b_0 = 4200\) et de raison \(q = 1 + \frac{4.5}{100} = 1.045\). Son expression explicite est \(b_n = 4200 \times 1.045^n\).
2. Comparaison (Partie B) : Cette partie demande de calculer plusieurs termes des deux suites pour déterminer à partir de quel moment la croissance exponentielle du scénario B devient plus avantageuse que la croissance linéaire du scénario A.
3. Prise de décision (Partie C) : Le cœur du problème réside dans le calcul de la production totale sur les 12 premiers mois. Cela nécessite l'utilisation des formules de somme des termes d'une suite arithmétique et d'une suite géométrique pour évaluer quel scénario permet d'atteindre l'objectif de 66 000 m³ de biogaz.
   • Somme arithmétique : \(S_A = \sum_{k=0}^{11} a_k = 12 \times \frac{a_0 + a_{11}}{2}\)
   • Somme géométrique : \(S_B = \sum_{k=0}^{11} b_k = b_0 \times \frac{1 - q^{12}}{1 - q}\)

Exercice 2 : Un bénéfice à optimiser

Ce second exercice se concentre sur l'application de la dérivation pour un problème d'optimisation. Une entreprise cherche à maximiser son bénéfice, modélisé par une fonction polynôme du troisième degré : \(f(x) = -x^3 + 9x^2 + 21x\) pour une production \(x\) dans l'intervalle \([0; 10]\).

Les questions guident l'élève à travers une étude de fonction classique :

1. Calcul de la dérivée : La première étape est de calculer la fonction dérivée \(f'(x)\), qui est un polynôme du second degré : \(f'(x) = -3x^2 + 18x + 21\).
2. Étude du signe de la dérivée : Pour connaître les variations de \(f\), il faut étudier le signe de \(f'(x)\). L'énoncé fait vérifier la forme factorisée \(f'(x) = -3(x - 7)(x + 1)\), dont on déduit le tableau de signe sur l'intervalle d'étude \([0; 10]\).
3. Tableau de variation et extremum : Le tableau de signe de \(f'(x)\) permet de construire le tableau de variation de \(f\). On peut alors en déduire la valeur de \(x\) pour laquelle le bénéfice est maximal, ainsi que la valeur de ce bénéfice maximal.
4. Lien avec les suites : l'exercice se termine par deux questions de décision. On calcule d'abord le taux d'évolution du bénéfice si une commande impose de produire 1 000 modules par mois : \(f(10) = 110\) contre un maximum \(f(7) = 245\), soit une baisse d'environ 55,1 %, ce qui conduit à refuser. Puis, en lien avec le premier exercice, on modélise une production qui augmente de 0,5 centaine chaque mois par une suite arithmétique, pour savoir en combien de mois elle atteint la production optimale.