Découvrez un sujet de contrôle corrigé de mathématiques pour le niveau Terminale spécialité, entièrement dédié au chapitre du dénombrement. Ce sujet, d'une durée d'une heure et sans calculatrice, est idéal pour s'entraîner et valider ses connaissances sur les concepts clés des combinaisons, arrangements et permutations. Il est structuré en trois exercices progressifs qui balayent l'ensemble du programme sur ce thème.
Exercice 1 : Maîtrise des concepts fondamentaux du dénombrement
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) conçu pour évaluer la compréhension et la différenciation des notions de base du dénombrement. Pour un ensemble \( E = \{a, b, c, d, e\} \), il faut identifier les bonnes réponses parmi plusieurs propositions. Les questions abordées sont :
- Calcul du cardinal d'un produit cartésien \( E \times E \), qui correspond au nombre de 2-uplets (ou couples) d'éléments de E. La formule est \( \text{Card}(E \times E) = \text{Card}(E)^2 \).
- Identification de la nature d'un sous-ensemble comme \(\{b, c, d\}\). Il s'agit de reconnaître une combinaison, où l'ordre des éléments n'a pas d'importance.
- Identification de la nature d'un couple ordonné comme \((d, a)\). Il s'agit de reconnaître un arrangement, où l'ordre est primordial.
- Calcul du nombre de permutations de l'ensemble E, c'est-à-dire le nombre de manières d'ordonner tous ses éléments, donné par la formule \( n! \).
- Calcul du nombre d'arrangements de 2 éléments parmi 5, correspondant au nombre de listes ordonnées sans répétition de 2 éléments, dont la formule est \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \).
- Détermination du nombre total de sous-ensembles (ou parties) d'un ensemble à n éléments, qui est égal à \( 2^n \).
- Application des propriétés fondamentales des coefficients binomiaux, notamment la formule de symétrie \( \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \) et la formule du triangle de Pascal : \( \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1} \).
Ce premier exercice est crucial car il vérifie l'acquisition du vocabulaire et des formules de base du dénombrement, qui sont les piliers du chapitre.
Exercice 2 : Techniques de calcul avec factorielles et combinaisons
Le deuxième exercice se concentre sur la manipulation algébrique et le calcul. Sans justification attendue, il s'agit de prouver sa dextérité sur des calculs typiques du dénombrement.
- Simplification d'expressions avec factorielles : Des questions comme la simplification de \( (n+1) \times n! \), \( \frac{(n+1)!}{(n+2)!} \) ou \( \frac{(n+2)!}{n!} \) testent la compréhension profonde de la définition de la factorielle \( n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1 \).
- Calcul de coefficients binomiaux : Il est demandé de calculer des valeurs de \( \binom{n}{k} \) pour des cas simples et des cas particuliers, comme \( \binom{7}{5} \), \( \binom{9}{8} \), \( \binom{13}{0} \), \( \binom{12}{12} \). Cela requiert la maîtrise de la formule \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) et la connaissance des valeurs remarquables (\( \binom{n}{0} = 1 \), \( \binom{n}{n} = 1 \), \( \binom{n}{1} = n \)).
Exercice 3 : Raisonnement et démonstration
Le dernier exercice fait appel à la capacité de raisonnement et de démonstration. Il s'agit de formaliser ses connaissances et de les appliquer pour prouver des résultats.
- Énonciation d'une formule du cours : La première question demande de restituer la formule du triangle de Pascal, une compétence de base.
- Démonstration par factorisation : Les questions suivantes demandent de démontrer des égalités impliquant des factorielles, comme prouver que \( 31! + 32! = 33 \times 31! \) ou de factoriser l'expression générale \( n! + (n+1)! \). Ces questions évaluent la capacité à manipuler les expressions algébriques avec factorielles en utilisant la mise en facteur commun.
En conclusion, ce sujet de maths sur le dénombrement est un excellent outil de révision pour les élèves de Terminale. Il couvre l'ensemble des compétences attendues : définition des objets du dénombrement, calcul de leurs quantités, manipulation des factorielles et application des propriétés des coefficients binomiaux. Un corrigé détaillé permettrait de s'auto-évaluer efficacement.