Découvrez ce sujet de contrôle corrigé sur le dénombrement, spécialement conçu pour les élèves de Terminale avec la spécialité Mathématiques. Ce devoir d'une durée de 30 minutes est un excellent moyen de vous entraîner et de valider vos compétences sur les concepts clés du chapitre : combinaisons, arrangements, permutations et utilisation des principes fondamentaux du dénombrement. Chaque exercice est analysé en détail pour vous aider à comprendre les méthodes de résolution et à éviter les pièges courants. Ce document est une ressource pédagogique idéale pour préparer vos examens et approfondir votre maîtrise des mathématiques.

Exercice 1 – Sous-ensembles, permutations et 2-uplets

Cet exercice fondamental aborde les notions de base du dénombrement à partir d'un ensemble fini \( E = \{x, y, z, t\} \), dont le cardinal est \( \text{card}(E) = 4 \).

• Question 1 : Nombre total de sous-ensembles et liste des sous-ensembles de cardinal 2
  On commence par un classique : le calcul du nombre total de sous-ensembles d'un ensemble. Pour un ensemble de cardinal \( n \), il existe \( 2^n \) sous-ensembles. Ici, \( n=4 \), donc il y a \( 2^4 = 16 \) sous-ensembles. La question demande ensuite de lister les sous-ensembles de cardinal 2. Il s'agit de trouver toutes les paires possibles d'éléments, sans tenir compte de l'ordre. C'est une application directe des combinaisons : le nombre de ces sous-ensembles est \( \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6 \).
• Question 2 : Nombre et liste des sous-ensembles de cardinal 3
  Similaire à la question précédente, on cherche ici les sous-ensembles contenant 3 éléments. Le calcul du nombre de ces sous-ensembles se fait à nouveau avec les combinaisons : \( \binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4 \). L'exercice demande de les lister pour s'assurer de la bonne compréhension du concept de sous-ensemble.
• Question 3 : Nombre de permutations
  Cette question teste la connaissance de la notion de permutation. Une permutation est un arrangement ordonné de tous les éléments de l'ensemble. Le nombre de permutations d'un ensemble de cardinal \( n \) est \( n! \). Pour l'ensemble \( E \), cela correspond donc à \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) permutations possibles.
• Question 4 : Nombre de 2-uplets ordonnés sans répétition (arrangements)
  Ici, on s'intéresse aux listes ordonnées de 2 éléments distincts de \( E \). C'est la définition même d'un arrangement. Le nombre d'arrangements de \( k \) éléments parmi \( n \) est noté \( A_n^k \). On calcule donc \( A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{24}{2} = 12 \). Il faut ensuite donner quelques exemples, comme \( (x, y) \), \( (y, x) \), ou \( (z, t) \), pour bien montrer la distinction avec les combinaisons où l'ordre n'importe pas.

Exercice 2 – Formation d'un groupe mixte

Ce second exercice est un problème concret d'application du dénombrement, qui permet de mobiliser les combinaisons et les principes additif et soustractif (via le complémentaire). Le contexte est la formation d'un groupe de 5 personnes à partir d'un ensemble de 8 femmes et 7 hommes (soit 15 personnes au total).

• Question 1 : Nombre de groupes différents possibles
  Pour former un groupe de 5 personnes parmi 15, l'ordre de sélection ne compte pas. On utilise donc les combinaisons. Le nombre total de groupes possibles est \( \binom{15}{5} = \frac{15!}{5!(15-5)!} = 3003 \).
• Question 2 : Nombre de groupes composés uniquement d'hommes
  Pour cette condition, il faut choisir 5 personnes parmi les 7 hommes disponibles. Le nombre de possibilités est donc \( \binom{7}{5} = \frac{7!}{5!(7-5)!} = 21 \).
• Question 3 : Nombre de groupes composés de personnes d'un seul sexe
  Cette situation correspond à deux cas disjoints : soit le groupe ne contient que des hommes, soit il ne contient que des femmes. On utilise le principe additif.
  • Cas 1 : que des hommes. On l'a calculé : \( \binom{7}{5} = 21 \).
  • Cas 2 : que des femmes. Il faut choisir 5 femmes parmi les 8 disponibles : \( \binom{8}{5} = \frac{8!}{5!(8-5)!} = 56 \).
  Le nombre total de groupes non mixtes est donc la somme des deux : \( 21 + 56 = 77 \).
• Question 4 : Nombre de groupes avec au moins une femme et au moins un homme
  La formulation "au moins un de chaque" suggère souvent de passer par l'événement contraire. L'événement contraire de "le groupe est mixte" est "le groupe n'est pas mixte", c'est-à-dire "le groupe est composé de personnes d'un seul sexe". On a déjà calculé ce nombre à la question précédente. La solution est donc :
  \( (\text{Nombre total de groupes}) - (\text{Nombre de groupes non mixtes}) = \binom{15}{5} - \left( \binom{7}{5} + \binom{8}{5} \right) = 3003 - 77 = 2926 \).

Ce contrôle de maths est un excellent exercice de synthèse sur le chapitre du dénombrement en Terminale. Il permet de travailler en profondeur les compétences de calcul de combinaisons, d'arrangements, de permutations et d'appliquer les principes fondamentaux du comptage dans des situations variées.