Découvrez l'analyse et la correction de ce contrôle de mathématiques de niveau Terminale Spécialité. Ce sujet d'une heure, avec calculatrice autorisée, est une excellente ressource pour réviser trois chapitres fondamentaux du programme : le raisonnement par récurrence, l'étude des suites numériques (arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques) et le calcul de dérivées. Chaque exercice est conçu pour évaluer des compétences précises et essentielles à la réussite du baccalauréat. Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas dans la résolution des problèmes, en mettant en lumière les méthodes et les formules clés.
Exercice 1 : Étude d'une suite arithmético-géométrique
Cet exercice classique aborde les suites arithmético-géométriques, un incontournable du programme de Terminale. On étudie la suite \((w_n)\) définie par \(w_{n+1} = -8w_n - 9\) et \(w_0 = 5\).
- Question 1 : L'objectif est d'utiliser une suite auxiliaire \((v_n)\) définie par \(v_n = w_n + 1\) pour simplifier le problème. Il faut démontrer que \((v_n)\) est une suite géométrique, en calculant le rapport \(\frac{v_{n+1}}{v_n}\), puis de déterminer sa raison et son premier terme \(v_0\).
- Question 2 : Une fois la nature de \((v_n)\) établie, on demande d'exprimer son terme général \(v_n\) en fonction de \(n\) en utilisant la formule \(v_n = v_0 \times q^n\).
- Question 3 : La dernière étape consiste à revenir à la suite initiale. En utilisant la relation \(w_n = v_n - 1\), on en déduit l'expression explicite de \(w_n\) en fonction de \(n\).
Exercice 2 : Somme des termes de suites usuelles
Cet exercice vise à vérifier la maîtrise des formules de sommation pour les suites arithmétiques et géométriques.
- Partie 1 : On demande de calculer la somme des 31 premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme \(u_0 = 3\) et de raison 6. Il faut appliquer la formule de la somme : \(S_n = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\).
- Partie 2 : On doit ensuite calculer la somme des 13 premiers termes d'une suite géométrique de premier terme \(v_0 = 4\) et de raison 1,2. La formule à utiliser est \(S_n = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}\).
Exercice 3 : Sens de variation d'une suite
Ici, on étudie la monotonie d'une suite \((u_n)\) définie par une expression explicite : \(u_n = -3n^2 - 41n + 40\). La méthode la plus efficace consiste à étudier la fonction associée \(f(x) = -3x^2 - 41x + 40\) pour \(x \ge 0\). En calculant la dérivée \(f'(x) = -6x - 41\) et en étudiant son signe, on peut en déduire les variations de la fonction \(f\) et donc le sens de variation de la suite \((u_n)\).
Exercice 4 : Algorithme et seuil de suite
Cet exercice combine suites et programmation. On considère la suite \((v_n)\) définie par \(v_0 = 12\) et \(v_{n+1} = 1.2v_n + 18\). L'objectif est de compléter une fonction Python qui détermine le plus petit entier \(n\) tel que \(v_n > 5000\). Il faut comprendre la logique d'un algorithme de seuil : initialiser les variables, utiliser une boucle `while` pour itérer tant que la condition n'est pas remplie, et mettre à jour le rang \(n\) et le terme de la suite à chaque itération.
Exercice 5 : Raisonnement par récurrence
Cet exercice est une application directe du raisonnement par récurrence, une compétence fondamentale en Terminale. Pour la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 7\) et \(u_{n+1} = 4u_n - 9\), il faut démontrer que pour tout entier naturel \(n\), la propriété \(P(n) : u_n = 3 + 4^{n+1}\) est vraie. La démonstration se déroule en trois étapes :
- Initialisation : Vérifier que la propriété est vraie pour le premier rang, \(n=0\).
- Hérédité : Supposer que \(P(k)\) est vraie pour un certain entier \(k \ge 0\) et démontrer, en utilisant la relation de récurrence, que \(P(k+1)\) est également vraie.
- Conclusion : Conclure que la propriété est vraie pour tout entier naturel \(n\).
Exercice 6 : Calcul de fonctions dérivées
Le dernier exercice est un test technique sur les formules de dérivation. Il faut déterminer l'expression de la dérivée pour quatre fonctions différentes, balayant ainsi plusieurs règles de calcul :
- \(f(x) = \frac{9x^2}{10} + \frac{5x}{8} + \frac{1}{5}\) : Dérivée d'une fonction polynôme.
- \(g(x) = \frac{1}{8x-5}\) : Dérivée de l'inverse d'une fonction, de la forme \((\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^2}\).
- \(h(x) = \frac{10x+3}{-10x-1}\) : Dérivée d'un quotient de fonctions, de la forme \((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).
- \(k(x) = e^{3x+1}\) : Dérivée d'une fonction exponentielle composée, de la forme \((e^u)' = u'e^u\).