Contrôle Corrigé de Maths Terminale : Limites et Continuité
Ce sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale, option maths complémentaires, est une évaluation complète sur les chapitres fondamentaux des limites de fonctions et de la continuité. D'une durée de 1h30, ce devoir balaye les compétences essentielles, de la manipulation des formes indéterminées à l'application du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) dans des problèmes concrets. C'est un excellent support pour réviser et s'entraîner en vue du baccalauréat.
Ce corrigé détaillé vous guidera à travers chaque exercice, en mettant l'accent sur la méthodologie de résolution et l'interprétation graphique des résultats, notamment la détermination des asymptotes.
Exercice 1 : Conjecturer à la machine, prouver à la main
Cet exercice est une excellente introduction qui mêle l'approche expérimentale à l'aide d'un programme Python et la rigueur de la démonstration mathématique. On étudie la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \frac{3x - 1}{x - 2}\) sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\).
- Conjecture de limite en l'infini : La première partie consiste à exécuter un script Python qui calcule les valeurs de \(f(x)\) pour des \(x\) de plus en plus grands (\(10, 100, 1000, \dots\)). En observant les résultats, on est amené à conjecturer que la limite de \(f(x)\) en \(+\infty\) est 3.
- Démonstration et interprétation : Il faut ensuite prouver cette conjecture. La méthode classique consiste à lever la forme indéterminée "\(\frac{\infty}{\infty}\)" en factorisant le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré : $$ \lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty} \frac{x(3 - \frac{1}{x})}{x(1 - \frac{2}{x})} = \lim_{x\to+\infty} \frac{3 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = 3 $$ L'interprétation graphique de ce résultat est que la droite d'équation \(y=3\) est une asymptote horizontale à la courbe de \(f\) en \(+\infty\).
- Étude des limites en 2 : L'exercice se poursuit avec l'étude du comportement de la fonction au voisinage de sa valeur interdite, \(x=2\). On doit déterminer les limites à droite et à gauche de 2. On trouve : $$ \lim_{x\to 2, x>2} f(x) = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x\to 2, x<2} f(x) = -\infty $$ Cela s'interprète graphiquement par la présence d'une asymptote verticale d'équation \(x=2\).
Exercice 2 : Quatre limites
Cet exercice est une application directe des techniques de calcul de limites sur différents types de fonctions.
- \(\lim_{x\to+\infty} (2x^3 - 5x^2 + 1)\) : Limite d'un polynôme en l'infini. Le résultat est donné par la limite de son terme de plus haut degré, soit \(+\infty\).
- \(\lim_{x\to 0, x>0} (4 - \frac{1}{\sqrt{x}})\) : Une limite en un point où une composante tend vers l'infini. Comme \(\sqrt{x} \to 0^+\), \(\frac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty\), donc la limite est \(-\infty\).
- \(\lim_{x\to-\infty} (x^2 + 3e^x)\) : Une somme de limites de référence. En \(-\infty\), \(x^2 \to +\infty\) et \(e^x \to 0\), donc la limite est \(+\infty\).
- \(\lim_{x\to+\infty} \frac{5x + 2}{x^2 + 1}\) : Limite d'une fonction rationnelle en l'infini. La limite est 0, ce qui implique une asymptote horizontale d'équation \(y=0\).
Exercice 3 : La jardinière (Problème d'optimisation)
Ce problème concret est un classique d'étude de fonction et d'optimisation. Le but est de minimiser la quantité de bois nécessaire pour fabriquer une jardinière à volume constant.
- Modélisation : On exprime la surface de bois \(S(x)\) en fonction du côté \(x\) de la base carrée. Avec un volume de 13500 cm³, on a \(V = x^2 h = 13500\), d'où \(h = \frac{13500}{x^2}\). L'aire totale (fond + 4 faces) est \(S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + 4x(\frac{13500}{x^2}) = x^2 + \frac{54000}{x}\).
- Étude des variations : Pour trouver le minimum de \(S(x)\), on étudie le signe de sa dérivée \(S'(x) = \frac{2(x^3 - 27000)}{x^2}\). En résolvant \(x^3 - 27000 = 0\), on trouve la valeur qui annule la dérivée, \(x=30\) cm. L'étude de signe permet de dresser le tableau de variations de \(S\), qui révèle que la surface est minimale pour \(x=30\) cm.
- Application du TVI : La fin de l'exercice utilise le tableau de variations pour déterminer le nombre de solutions de l'équation \(S(x) = 2920\), une application directe du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.
Exercice 4 : Lire un tableau de variations
Cet exercice teste la capacité à extraire des informations d'un tableau de variations, une compétence cruciale en analyse de fonction.
- Asymptotes : La lecture de la limite en \(-\infty\) qui est égale à 2 (\(\lim_{x\to-\infty} f(x) = 2\)) permet de conclure à l'existence d'une asymptote horizontale d'équation \(y=2\).
- Nombre de solutions d'équations : En utilisant le tableau et le théorème des valeurs intermédiaires, on doit trouver le nombre de solutions des équations \(f(x)=k\) pour \(k=0, 2, 6\). Il s'agit de "couper" horizontalement le tableau de variations à la hauteur \(k\) et de compter les points d'intersection.
- Résolution d'inéquation : La dernière question demande de résoudre \(f(x) \le 2\) en se basant sur les variations de la fonction et des points connus (\(f(2)=2, f(5)=2\)).
Exercice 5 et Bonus : Approfondir la compréhension
L'exercice 5 pose une question conceptuelle : une courbe peut-elle croiser son asymptote horizontale ? La réponse est oui, et cet exercice invite à une réflexion plus profonde sur la nature d'une limite à l'infini. Le bonus du moine et la montagne est une énigme célèbre qui se résout élégamment en posant la bonne fonction et en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires, montrant la puissance de ce théorème au-delà des calculs purs.