Découvrez notre sujet de contrôle corrigé de mathématiques pour la terminale, option maths complémentaires. Ce devoir porte sur le chapitre des lois à densité, un thème central des probabilités continues. Idéal pour s'entraîner, ce sujet aborde la loi uniforme, le calcul de probabilités par des aires et des intégrales, l'espérance, et même une introduction à la simulation de Monte-Carlo avec Python. Ce document est une ressource précieuse pour les révisions du baccalauréat.

Exercice 1 : Simulation et Loi Uniforme

Cet exercice est une excellente introduction aux probabilités géométriques et à la méthode de Monte-Carlo. On s'intéresse à un point \(M(x, y)\) choisi au hasard dans un carré de côté 1, où ses coordonnées sont issues de la fonction `random()` de Python.

• Identification de la loi uniforme sur \([0, 1]\) suivie par les coordonnées \(x\) et \(y\). Calcul de probabilités simples comme \(P(X \le 0,3)\) et \(P(0,25 \le X \le 0,75)\).
• Calcul de l'aire d'un quart de disque pour en déduire une probabilité géométrique, en se basant sur le principe que la probabilité est proportionnelle à l'aire.
• Analyse d'un script Python qui simule cette expérience pour estimer la valeur de \(\pi\). Il s'agit de comprendre le lien entre la fréquence observée et la probabilité théorique (Loi des grands nombres).
• Apprendre à modifier un script pour simuler une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur un intervalle quelconque \([a, b]\), ici \([2, 5]\).

Exercice 2 : Probabilités Géométriques et Loi Uniforme

Cet exercice de maths se base sur un problème concret de kermesse : un lancer de palet sur une cible. Il permet de réinvestir les notions de probabilités proportionnelles à l'aire dans un cadre différent.

• Calcul d'une probabilité en utilisant un rapport d'aires (disque sur rectangle).
• Modélisation de la position horizontale du palet par une variable aléatoire \(X\) suivant une loi uniforme sur \([0, 40]\).
• Calcul de la densité de probabilité et utilisation de celle-ci pour retrouver un calcul de probabilité en calculant l'aire d'un rectangle sous la courbe de densité.
• Calcul et interprétation de l'espérance \(E(X)\) dans le contexte de la loi uniforme, qui correspond à la position moyenne du point d'impact.

Exercice 3 : Étude d'une Loi à Densité

Cet exercice est un classique sur l'étude d'une fonction de densité. On considère la fonction \(f(x) = \frac{3}{4}(1-x^2)\) sur l'intervalle \([-1, 1]\).

• Démonstration qu'une fonction est bien une densité de probabilité. Cela implique de vérifier deux conditions cruciales : sa positivité sur l'intervalle et que son intégrale sur son support est égale à 1.
• Utilisation du calcul d'intégrale pour déterminer des probabilités du type \(P(X \le 0)\) et \(P(-0,5 \le X \le 0,5)\). Cet exercice requiert la maîtrise du calcul des primitives de fonctions polynômes.

Exercice 4 : Somme de Lois Uniformes et Loi Triangulaire

Cet exercice approfondit la loi uniforme via l'utilisation d'un tableur et s'intéresse à la loi de la somme de deux variables aléatoires uniformes, un concept plus avancé.

• Analyse de données issues d'une simulation sur tableur (fonction ALEA) et comparaison des fréquences empiriques avec les probabilités théoriques de la loi uniforme.
• Introduction à la loi de la somme \(S = X_1 + X_2\), qui suit ici une loi triangulaire. La densité de probabilité, définie par morceaux, est donnée.
• Vérification que la fonction triangulaire est une densité en calculant l'aire sous la courbe (ici, l'aire d'un triangle).
• Calcul de probabilités par des calculs d'aires de figures simples (triangles, trapèzes), une alternative graphique au calcul d'intégrale.
• Détermination de l'espérance \(E(S)\) par un argument de symétrie de la courbe de densité.

Exercice 5 : Problème de Modélisation

Ce dernier exercice est un problème court mais qui demande une bonne capacité de modélisation. Un bâton est cassé en un point aléatoire suivant une loi uniforme.

• Traduction de l'énoncé "le plus grand morceau mesure plus de trois fois le plus petit" en une ou plusieurs inéquations portant sur la variable aléatoire \(X\).
• Résolution du problème en calculant la probabilité de l'événement correspondant, en utilisant les propriétés de la loi uniforme sur \([0, 1]\).

Ce sujet complet est un excellent outil de révision pour les élèves de Terminale en maths complémentaires. Il permet de valider les compétences sur les lois à densité, notamment la loi uniforme, et de faire le lien entre probabilités, géométrie, calcul d'intégrale et algorithmique. Téléchargez ce sujet de maths corrigé pour vous préparer efficacement.