Découvrez une analyse détaillée et un corrigé de ce sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale Spécialité, entièrement consacré au chapitre des fonctions trigonométriques. Cette évaluation de 2 heures est un excellent outil de révision, balayant les compétences essentielles : résolution d'équations et inéquations, calcul de dérivées, étude de fonctions, et un problème d'optimisation concret. Ce corrigé est conçu pour vous aider à comprendre les méthodes de résolution et à consolider vos connaissances.
Exercice 1 : Maîtrise des bases de la trigonométrie
Cet exercice est un questionnaire à réponses directes qui vise à évaluer votre maîtrise des fondamentaux du chapitre. Il est essentiel de bien connaître son cercle trigonométrique et ses formules de dérivation.
- Question a) : Résolution d'équation. Il s'agit de résoudre l'équation `2 \cos(x) + 1 = 0` sur l'intervalle `[0; 2\pi]`. On isole d'abord `\cos(x)` pour obtenir `\cos(x) = -\frac{1}{2}`. La résolution s'appuie sur la connaissance des valeurs remarquables du cosinus et la lecture des solutions sur le cercle trigonométrique dans l'intervalle imposé.
- Question b) : Résolution d'inéquation. On demande de résoudre `\sin(x) < \frac{\sqrt{2}}{2}` sur `[-\pi; \pi]`. Cette question teste votre capacité à visualiser les arcs de cercle correspondant à une inégalité sur le cercle trigonométrique et à en déduire l'ensemble des solutions.
- Question c) : Dérivée d'un produit. Il faut dériver la fonction `f(x) = 3x \cos(5x + 2)`. Cette question requiert l'application de la formule de dérivation d'un produit `(uv)' = u'v + uv'` ainsi que la dérivée d'une fonction composée pour le terme `\cos(5x + 2)`.
- Question d) : Dérivée d'un quotient. On doit calculer la dérivée de `g(x) = \frac{\sin(x)}{\sin(x) + 5}`. La maîtrise de la formule de dérivation d'un quotient `(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}` est ici indispensable.
Exercice 2 : Application de compétences variées
Cet exercice se compose de trois questions indépendantes qui approfondissent des notions clés du programme de Terminale.
- Question 1 : Étude de la convexité. On doit déterminer si la fonction `g(x) = \sin(2x)` est concave sur l'intervalle `] \frac{\pi}{2} ; \pi [`. La méthode consiste à calculer la dérivée seconde `g''(x)` et à étudier son signe. Si `g''(x) \le 0` sur l'intervalle, la fonction est concave.
- Question 2 : Recherche de primitive. Il est demandé de trouver une primitive de la fonction `h(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}`. Les élèves avisés reconnaîtront une forme `\frac{u'(x)}{u(x)}`, dont une primitive est `\ln(|u(x)|)`. L'intervalle `]0; \pi[` garantit que `\sin(x)` est positif, simplifiant l'expression.
- Question 3 : Résolution d'inéquation. Il s'agit de résoudre l'inéquation `\sqrt{2} - 2 \cos(x) \ge 0` sur `[0; 2\pi]`, ce qui se ramène à `\cos(x) \le \frac{\sqrt{2}}{2}`. Encore une fois, le cercle trigonométrique est l'outil de choix pour conclure.
Exercice 3 : Étude de fonction trigonométrique complète
Cet exercice est une étude de fonction classique mais essentielle, portant sur `h(x) = \sin(x) - (\sin(x))^2`. Les justifications sont attendues, ce qui met l'accent sur la rigueur de la rédaction.
- Calcul de la dérivée : La première étape consiste à prouver que `h'(x) = \cos(x) (1 - 2 \sin(x))`. Le calcul fait appel à la dérivation de `u^n`, qui est `n u' u^{n-1}`, suivie d'une factorisation par `\cos(x)`.
- Tableau de variations : Pour dresser le tableau de variations de `h` sur `[0; 2\pi]`, il faut étudier le signe de la dérivée `h'(x)`. Cela implique de résoudre `\cos(x) > 0` et `1 - 2 \sin(x) > 0` sur l'intervalle, puis de combiner les résultats dans un tableau de signes pour en déduire le signe de `h'(x)` et les variations de `h`. Le calcul des extremums (minima et maxima locaux) est également requis.
Exercice 4 : Problème de synthèse et d'optimisation
L'exercice le plus complet du sujet. Il s'agit d'un problème d'optimisation dans un cadre géométrique. On cherche à maximiser l'aire d'un triangle isocèle inscrit dans un cercle. C'est un excellent exemple de l'application des outils d'analyse de fonctions à un problème concret.
- Partie 1 : Modélisation. On utilise la trigonométrie dans le triangle rectangle pour exprimer les dimensions du triangle (base `BC`, hauteur `AH`) en fonction d'un angle `\alpha`. On en déduit l'expression de l'aire du triangle, `A(\alpha) = \sin(\alpha)(1 + \cos(\alpha))`.
- Partie 2 : Étude de la fonction Aire. La suite consiste en une étude approfondie de la fonction `f(x) = \sin(x)(1 + \cos(x))` pour `x \in [0; \frac{\pi}{2}]`.
- On commence par calculer la dérivée `f'(x)` et montrer qu'elle est égale à `2\cos^2(x) + \cos(x) - 1`.
- Ensuite, on factorise `f'(x)` en `2(\cos(x) + 1)(\cos(x) - \frac{1}{2})`, ce qui est obtenu en résolvant une équation du second degré en posant `X = \cos(x)`.
- L'étude du signe de `f'(x)` permet de dresser le tableau de variations de `f`. Le signe dépend uniquement du terme `\cos(x) - \frac{1}{2}` sur l'intervalle d'étude.
- Finalement, le tableau de variations révèle la valeur de `\alpha` pour laquelle l'aire est maximale, concluant ainsi le problème d'optimisation.
En résumé, ce sujet d'évaluation de 2 heures pour la spécialité maths couvre un large éventail de compétences sur les fonctions trigonométriques, de la technique calculatoire (dérivées) à la résolution de problèmes complexes (optimisation).