15. Résoudre une inéquation avec cosinus ou sinus dans un intervalle particulier

Introduction

Nous allons résoudre une équation avec cosinus et sinus sur des intervalles particuliers. Nous le ferons en quatre étapes : 1. Résoudre l'équation 2. Faire apparaître la solution de l'équation sur le graphique 3. Faire apparaître les solutions de l'équation sur le graphique 4. Faire apparaître l'intervalle où nous voulons la solution pour savoir quelle est la solution finale.

Résolution de l'équation

Nous commençons par résoudre l'équation \( \cos(x) = -\sqrt{2}/2 \). Je vous rappelle que les valeurs que l'on connaît pour \( \cos(x) \) sont \( 1, \sqrt{3}/2, \sqrt{2}/2, 1/2, 0, -1/2, -\sqrt{2}/2, -\sqrt{3}/2, -1 \). Le cosinus se lit sur l'axe horizontal. Pour que \( \cos(x) = -\sqrt{2}/2 \), je sais que \( x \) doit être \( \pi/4 \) ou \( -3\pi/4 \).

Représentation graphique des solutions

La deuxième étape consiste à placer les solutions sur le graphique. Les deux solutions qui nous intéressent sont \( \pi/4 \) et \( -3\pi/4 \). Ces solutions sont symétriques. La troisième étape consiste à faire apparaître l'intervalle de solutions. Nous voulons que le cosinus de \( 2x \) soit plus grand que cette valeur, c'est-à-dire plus grand que \( -\sqrt{2}/2 \). Les valeurs plus grandes sont toujours à droite. Les angles qui donnent cette valeur de cosinus sont tous ceux qui sont à droite de cette valeur.

Détermination de l'intervalle de solutions

La quatrième étape consiste à faire apparaître cet intervalle. Nous commençons à 0, nous cherchons notre \( 2\pi \), nous faisons un tour complet et notre première valeur est là. Nous ajoutons \( \pi \) et nous avons \( 3\pi \). Ensuite, nous faisons apparaître cet intervalle, nous allons de \( 2\pi \) à \( 3\pi \) en tournant dans le sens positif. L'intervalle qui nous intéresse est celui en rouge. Maintenant, nous nous demandons quelles sont les solutions qui sont à la fois dans l'intervalle vert (c'est-à-dire que le cosinus est plus grand que \( -\sqrt{2}/2 \)) et dans l'intervalle rouge. Ces solutions apparaissent clairement ici, c'est cet intervalle à partir de ce point. Donc, une solution est \( 2\pi \) jusqu'à \( 2\pi + 3\pi/4 \), car \( 3\pi/4 \) est en réalité sur la droite en dessous de \( \pi \). Donc, \( x \) appartient à \( [2\pi, 2\pi + 3\pi/4] \), autrement dit, \( x \) appartient à \( [2\pi, 8\pi + 3\pi/4] \).

Conclusion

Vous ne vous en sortirez pas sans cette méthode graphique. La première étape est de positionner les points qui sont solutions à cette équation. La deuxième étape est de faire apparaître le premier intervalle, celui qui est solution de mon équation. La troisième étape est de faire apparaître l'intervalle dans lequel je veux la solution, donc l'intervalle rouge. La dernière étape est de se demander quelles sont les valeurs de \( x \) qui sont à la fois sur l'intervalle vert et sur l'intervalle rouge. À vous de jouer pendant que c'est encore frais.