Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Première (spécialité) est entièrement dédié au chapitre de géométrie repérée. D'une durée d'une heure, cette évaluation est composée de quatre exercices balayant les compétences essentielles sur les droites et les cercles dans le plan. C'est un excellent support pour s'entraîner et réviser avant un examen. Chaque exercice est conçu pour tester des savoir-faire spécifiques, allant de la manipulation des équations cartésiennes à la résolution de problèmes géométriques complexes. Ce document est un exemple type de ce qui peut être attendu lors d'une évaluation en Première.

Exercice 1 : Équations de droites (6 points)

Cet exercice se compose de trois questions indépendantes qui testent les bases de la géométrie analytique concernant les droites.

• Question 1 : Médiatrice d'un segment
  On vous donne deux points $M(-1; 3)$ et $N(1; -2)$. La tâche est de démontrer que l'équation cartésienne de la médiatrice du segment $[MN]$ est bien $4x - 10y + 5 = 0$. Pour y parvenir, plusieurs méthodes sont possibles :
  • Calculer les coordonnées du milieu $I$ de $[MN]$, puis utiliser le fait que le vecteur $\vec{MN}$ est un vecteur normal à la médiatrice.
  • Utiliser la propriété d'équidistance : tout point $P(x; y)$ de la médiatrice vérifie $PM = PN$, soit $PM^2 = PN^2$.
• Question 2 : Droite perpendiculaire
  À partir de l'équation d'une droite $(d) : -x + 2y + 21 = 0$, il faut trouver l'équation de la droite $(d')$ qui lui est perpendiculaire et qui passe par le point $A(2; -4)$. La clé est de reconnaître qu'un vecteur normal à $(d)$, par exemple $\vec{n}(-1; 2)$, est un vecteur directeur pour $(d')$.
• Question 3 : Projeté orthogonal
  Avec les points $A(-2; 2)$, $B(4; -1)$ et $C(-7; 2)$, l'objectif est de trouver les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$. Cela revient à trouver l'intersection de deux droites :
  1. La droite $(AB)$.
  2. La droite passant par $C$ et perpendiculaire à $(AB)$. Le vecteur $\vec{AB}$ est un vecteur normal à cette droite.
  La résolution d'un système d'équations linéaires donne les coordonnées de $H$.

Exercice 2 : Équations de cercles (4 points)

Cet exercice se concentre sur l'identification et la caractérisation des cercles à partir de leurs équations cartésiennes développées.

• Questions 1, 2 et 3
  Pour chacune des équations fournies, comme $x^2 - 10x + y^2 + 20y + 125 = 121$, il faut déterminer s'il s'agit d'une équation de cercle. La méthode consiste à utiliser la forme canonique en complétant les carrés pour se ramener à une équation de la forme $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.
  • Si $R^2 > 0$, l'équation représente un cercle de centre $\Omega(a; b)$ et de rayon $R$.
  • Si $R^2 = 0$, l'équation représente un unique point.
  • Si $R^2 < 0$, l'équation ne représente aucun point dans le plan.
  Cet exercice est un test direct de la maîtrise des identités remarquables et de la forme canonique d'une équation de cercle.

Exercice 3 : Hauteurs et orthocentre d'un triangle (6 points)

Cet exercice applique les connaissances sur les équations de droites à un problème classique de géométrie du triangle : la recherche de l'orthocentre.

• Questions 1 et 2 : Équation d'une hauteur
  Étant donné un triangle $DEF$ avec les points $D(4; -6)$, $E(4; 5)$ et $F(-4; -3)$, on demande de déterminer l'équation de la hauteur issue de $D$, puis celle issue de $F$. Une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Par exemple, la hauteur issue de $D$ passe par $D$ et a pour vecteur normal le vecteur $\vec{EF}$.
• Question 3 : Intersection des hauteurs (Orthocentre)
  L'orthocentre $H$ du triangle est le point de concours des hauteurs. Pour trouver ses coordonnées, il suffit de calculer le point d'intersection des deux hauteurs dont on a déterminé les équations aux questions précédentes. Cela se résout par un système de deux équations à deux inconnues.

Exercice 4 : Position relative de deux cercles (4 points)

Le dernier exercice aborde la notion de tangence entre deux cercles, un problème qui combine l'analyse des équations de cercle et le calcul de distances.

• On donne les équations de deux cercles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C'}$ : $x^2 + y^2 - 8y = 0$ et $x^2 + y^2 - 16x + 4y + 32 = 0$.
• La première étape est, comme dans l'exercice 2, de trouver les caractéristiques (centre et rayon) de chaque cercle en passant par la forme canonique.
• Ensuite, on calcule la distance entre les deux centres, notée $d$.
• Finalement, on compare cette distance $d$ à la somme des rayons $R + R'$ et à la valeur absolue de leur différence $|R - R'|$. Les cercles sont tangents si $d = R + R'$ (tangents extérieurement) ou si $d = |R - R'|$ (tangents intérieurement).

Ce contrôle corrigé est un excellent outil pour maîtriser les concepts fondamentaux de la géométrie repérée en classe de Première.