7. Déterminer graphiquement le produit d'un vecteur par un réel

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment construire graphiquement la multiplication d'un vecteur par un nombre réel, que ce nombre soit positif ou négatif. Il y a des petits exercices en dessous, on voit ça tout de suite, c'est parti.

Construction de la multiplication d'un vecteur

Pour construire la multiplication d'un vecteur, il y a deux règles. Si le chiffre qui est devant est du même signe, alors le vecteur aura le même sens. Autrement dit, dans ce cas-là, mon vecteur \( w \) il va avoir le même sens que mon vecteur \( u \). Dans le cas contraire, le vecteur \( w \) il va avoir le sens opposé que le vecteur \( u \). Deuxième règle, la norme du nouveau vecteur elle est égale à deux fois la norme de l'ancien vecteur. Donc là, je cherche à tracer un vecteur qui soit deux fois plus long que celui-ci, tout en gardant la même direction et le même sens. Du coup, je me place sur la droite représentée par le vecteur \( u \) pour qu'on ait la même direction, le même sens, donc ce sera du bas vers le haut, et je me débrouille pour qu'il soit deux fois plus long. Donc une fois, deux fois, j'ai mon vecteur \( w \) qui vaut deux fois le vecteur \( u \).

Exemple de construction

Dans ce cas-là, on veut qu'un vecteur \( w \) soit égal à \( -0.5 \) fois le vecteur \( ab \). Première étape, je dessine mon vecteur \( ab \), c'est le vecteur qui part de \( a \) et qui arrive à \( b \). Mais je sais que le nouveau vecteur il aura \( 0.5 \) fois la longueur du vecteur \( ab \), c'est-à-dire la moitié de la longueur de \( ab \), et qui sera dans le sens opposé tout en étant sur la même direction. C'est pas compliqué, mon vecteur je le coupe en deux pour qu'il ait la moitié de sa longueur et je le dessine dans le sens opposé. Et voilà, c'est mon nouveau vecteur \( w \). C'est pas compliqué, on vous laisse des exercices en dessous, à vous de jouer, parce qu'après ça va être plus long.