2. Calculer la médiane d'un tableau d'effectif

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment calculer la médiane quand on a un tableau avec des valeurs et des effectifs. Vous allez voir, c'est très simple. On s'y met tout de suite. Ce genre de tableau, vous pouvez le trouver dans des exercices du style : on a une classe, il y a eu un certain nombre de notes. Donc, on a eu onze élèves qui ont eu la note 10, on a eu huit élèves qui ont eu la note 13, et ainsi de suite. Vous pouvez le trouver aussi avec une histoire de maternité : dans une maternité, il y a onze familles qui ont eu dix enfants, huit familles qui ont eu treize enfants, cinq familles qui ont eu cinq enfants, etc. Comment est-ce qu'on calcule la médiane dans ces cas-là ?

Calcul de la médiane

Une première option, qui est très longue et fastidieuse, consisterait à écrire dix fois la note 10, puis à écrire treize fois la note 8, et ainsi de suite, puis à utiliser la technique qui consiste à trouver le milieu. Mais cette technique est beaucoup trop longue. On va en voir une plus efficace. On va commencer par rajouter une ligne au tableau. Cette ligne, ça sera la ligne des effectifs cumulés. Les effectifs cumulés consistent à faire, pour chaque case, la somme de la valeur de cette case et de tous les effectifs précédents. Par exemple, pour la classe de l'effectif 8, on fait 8 plus 11, ce qui donne 19. On continue ainsi pour toutes les cases. On remarque qu'on peut faire simplement 24 + 5, puisque la somme de tout cela on l'a déjà fait ici. Donc, 5 + 24 ça fait 29.

Interprétation de la médiane

On a déjà gagné une chose : c'est le nombre total des effectifs, la somme de tout ça, le nombre total d'élèves dans la classe, c'est 29. Maintenant, revenons à la définition de la médiane. Si j'ai une série qui mesure 29, la médiane c'est la valeur qui va diviser ce nombre d'élèves en deux. Donc c'est la valeur qui va valoir \(29 / 2 = 14.5\). Mais 14.5, ce n'est pas un numéro d'élève. On n'a pas un élève 14 et demi, on a un élève 14 et un élève 15. Donc ce qu'on va faire, c'est qu'on va prendre celui qui est juste avant le 14ème élève, celui qui est juste après le 15ème élève, et on va voir s'ils ont la même note. Si c'est le cas, la valeur médiane sera la note qu'ils ont obtenue tous les deux. Et s'ils ont deux notes différentes, on va faire la moyenne de ces deux notes. Pour savoir quelles notes ont obtenu le 14ème et le 15ème élève, on regarde notre tableau d'effectifs cumulés. On a onze élèves qui ont obtenu la note 10, et 19 élèves qui ont obtenu une note inférieure à 13. Donc, vous voyez que le 14ème et le 15ème élève sont entre ici et ici, ils sont après 11 et avant 19, ils sont dans cette case-là. Donc aussi bien le 14ème que le 15ème, ils ont eu comme note 13. Donc la valeur, la note telle que la moitié des élèves, c'est-à-dire quatorze élèves au-dessus et quatorze élèves en dessous, ont une note plus grande et une note plus petite, c'est 13. Donc ma médiane, elle vaut treize. Quand vous avez un tableau, pour trouver la médiane, vous commencez par faire les effectifs cumulés. Vous vous dites ensuite : "Bon, mon effectif, je le divise par 2, ça fait 14.5, donc je vais chercher le 14ème et le 15ème élève en regardant dans ce tableau. Où est-ce qu'ils sont, le 14ème et le 15ème ?" Si c'est un nombre pair, je vais tomber pile, par exemple 14, et je n'aurai qu'à vérifier la 14ème date, et cette note-là, c'est ma médiane. Il ne vous reste plus qu'à vous entraîner avec des exercices. Ça a l'air simple comme ça, mais rien de mieux que de s'entraîner pour bien le graver dans le cerveau. À vous de jouer, vous êtes des champions !