Corrigé du Contrôle de Mathématiques de Seconde : Ensembles de Nombres et Trigonométrie (Sujet 3)

Ce document propose une analyse détaillée et le corrigé complet d'un sujet de mathématiques pour la classe de Seconde. Ce contrôle, d'une durée d'une heure, porte sur deux chapitres fondamentaux du programme : les ensembles de nombres et la trigonométrie. C'est une excellente ressource pour les élèves souhaitant s'entraîner, réviser et valider leurs connaissances avant une évaluation. Chaque exercice est analysé pour mettre en lumière les compétences requises, avec des explications pas à pas pour une compréhension optimale.

Les notions abordées incluent la classification des nombres dans les ensembles \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\), l'utilisation des symboles d'appartenance et d'inclusion, ainsi que l'application de la trigonométrie dans des problèmes de géométrie. Vous trouverez des exercices sur le calcul de longueurs à l'aide des fonctions sinus, cosinus et tangente, l'utilisation de la relation fondamentale \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\), et la démonstration de propriétés géométriques comme la tangence d'une droite à un cercle.

Exercice 1 : Maîtrise des Ensembles de Nombres

Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) déguisé qui vise à vérifier la bonne connaissance des différents ensembles de nombres et des notations associées. Il faut compléter chaque proposition avec l'un des symboles suivants : \(\in\) (appartient à), \(\notin\) (n'appartient pas à), \(\subset\) (est inclus dans) ou \(\not\subset\) (n'est pas inclus dans).

• Question 1 : \(-1,5 ... \mathbb{Z}\). Il s'agit de déterminer si le nombre décimal -1,5 est un entier relatif. La réponse est non, d'où le symbole \(\notin\).
• Question 2 : \(\frac{\pi}{3} ... \mathbb{Q}\). Le nombre \(\pi\) est un nombre irrationnel. Divisé par 3, il reste irrationnel. Il n'appartient donc pas à l'ensemble des nombres rationnels \(\mathbb{Q}\). On utilise \(\notin\).
• Question 3 : \(\frac{12}{3} ... \mathbb{D}\). On simplifie d'abord la fraction : \(\frac{12}{3} = 4\). Le nombre 4 est un entier, et tout entier est un nombre décimal (4 peut s'écrire 4,0). La réponse est donc \(\in\).
• Question 4 : \(\mathbb{Q} ... \mathbb{Z}\). Ici, on compare deux ensembles. L'ensemble des nombres rationnels \(\mathbb{Q}\) contient des nombres qui ne sont pas dans l'ensemble des entiers relatifs \(\mathbb{Z}\) (par exemple, \(\frac{1}{2}\)). Donc, \(\mathbb{Q}\) n'est pas inclus dans \(\mathbb{Z}\). Le symbole est \(\not\subset\).
• Question 5 : \(\mathbb{N} ... \mathbb{Z}\). L'ensemble des entiers naturels \(\mathbb{N}\) est l'ensemble des entiers positifs ou nuls. L'ensemble des entiers relatifs \(\mathbb{Z}\) contient les entiers positifs, négatifs et nuls. Tout entier naturel est donc un entier relatif. On a \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\).
• Question 6 : \(\mathbb{R} ... \mathbb{Q}\). L'ensemble des nombres réels \(\mathbb{R}\) contient tous les nombres rationnels et irrationnels. L'ensemble \(\mathbb{Q}\) ne contient que les rationnels. Donc, \(\mathbb{R}\) n'est pas inclus dans \(\mathbb{Q}\). On écrit \(\mathbb{R} \not\subset \mathbb{Q}\).

Cet exercice est essentiel pour s'assurer que les bases sur la structure des nombres sont bien acquises.

Exercice 2 : Problème de Trigonométrie Appliquée

Cet exercice est un problème concret de calcul de distance, typique des applications de la trigonométrie en Seconde. Il met en scène une situation géométrique où il faut déterminer la largeur d'une rivière, modélisée par la longueur \(DC\).

Les données sont : un triangle \(ABD\) rectangle en \(B\), une longueur connue \(AB = 25\) m, et deux angles adjacents de même mesure, \(\angle BAC = \angle CAD = 15^\circ\). Les points \(B, C, D\) sont alignés.

La résolution se fait en deux étapes, en utilisant la fonction tangente dans deux triangles rectangles différents :

1. Calcul de \(BC\) : On se place dans le triangle rectangle \(ABC\). On a \(\tan(\angle BAC) = \frac{BC}{AB}\). On peut donc isoler \(BC\) : \(BC = AB \times \tan(15^\circ)\).
2. Calcul de \(BD\) : On se place dans le triangle rectangle \(ABD\). L'angle d'intérêt est \(\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 15^\circ + 15^\circ = 30^\circ\). On a \(\tan(\angle BAD) = \frac{BD}{AB}\). D'où \(BD = AB \times \tan(30^\circ)\).
3. Calcul de \(DC\) : Comme les points sont alignés, la longueur recherchée \(DC\) est simplement la différence entre \(BD\) et \(BC\). On a donc \(DC = BD - BC = 25 \times \tan(30^\circ) - 25 \times \tan(15^\circ)\).

Le calcul à la calculatrice donne la valeur numérique de la largeur de la rivière. Cet exercice teste la capacité à modéliser une situation et à appliquer les bonnes formules trigonométriques.

Exercice 3 : Relations Trigonométriques

Cet exercice se concentre sur les relations fondamentales de la trigonométrie dans un contexte géométrique simple (un rectangle). Il est divisé en deux questions.

• 1) Déterminer la valeur du sinus : On connaît la valeur du cosinus d'un angle aigu : \(\cos(\angle DAC) = \frac{60}{109}\). Pour trouver le sinus de ce même angle, on utilise la relation fondamentale de la trigonométrie : \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\).
  On a donc \(\sin^2(\angle DAC) = 1 - \cos^2(\angle DAC) = 1 - (\frac{60}{109})^2\). Comme l'angle est aigu (dans un triangle rectangle), son sinus est positif. On calcule alors :
  $$ \sin(\angle DAC) = \sqrt{1 - \frac{3600}{11881}} = \sqrt{\frac{11881 - 3600}{11881}} = \sqrt{\frac{8281}{11881}} = \frac{91}{109} $$
• 2) Calculer une longueur : Avec la donnée supplémentaire \(DA = 12\) cm, on doit trouver la longueur \(DC\). Le triangle \(ADC\) est rectangle en \(D\) (car \(ABCD\) est un rectangle). On peut utiliser les rapports trigonométriques. Par exemple, avec le sinus que l'on vient de calculer et le cosinus donné :
  \(\tan(\angle DAC) = \frac{\sin(\angle DAC)}{\cos(\angle DAC)} = \frac{91/109}{60/109} = \frac{91}{60}\).
  Or, dans le triangle rectangle \(ADC\), on a aussi \(\tan(\angle DAC) = \frac{DC}{DA}\).
  On en déduit que \(DC = DA \times \tan(\angle DAC) = 12 \times \frac{91}{60} = \frac{91}{5} = 18,2\) cm.

Cet exercice est un excellent test sur la maîtrise des formules trigonométriques et leur application directe pour des calculs d'angles et de longueurs.

Exercice 4 : Géométrie et Tangente à un Cercle

Le dernier exercice est un problème de raisonnement géométrique. Il s'agit de valider ou d'infirmer une affirmation de Nicolas : "La droite \((BD)\) est tangente au cercle \(\mathcal{C}\)".

Les informations fournies sont : \(\mathcal{C}\) est un cercle de centre \(A\) passant par \(B\) (donc \([AB]\) est un rayon). Le triangle \(ABD\) est isocèle en \(B\), et l'angle \(\angle BAD\) mesure \(45^\circ\).

Pour qu'une droite soit tangente à un cercle en un point, elle doit être perpendiculaire au rayon qui aboutit à ce point. Ici, il faut donc vérifier si la droite \((BD)\) est perpendiculaire au rayon \([AB]\) au point \(B\). Autrement dit, on doit démontrer que l'angle \(\angle ABD\) est un angle droit (\(90^\circ\)).

Le raisonnement est le suivant :

1. Le triangle \(ABD\) est isocèle en \(B\). Par définition, cela signifie que les côtés adjacents au sommet principal sont égaux : \(BA = BD\).
2. Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux. La base est le côté opposé au sommet principal, donc \([AD]\). Les angles à la base sont \(\angle BAD\) et \(\angle BDA\). On a donc \(\angle BDA = \angle BAD\).
3. On nous donne \(\angle BAD = 45^\circ\), donc \(\angle BDA = 45^\circ\).
4. La somme des angles dans un triangle vaut \(180^\circ\). Dans le triangle \(ABD\), on a : \(\angle ABD + \angle BAD + \angle BDA = 180^\circ\).
5. On peut alors calculer \(\angle ABD\): \(\angle ABD = 180^\circ - (\angle BAD + \angle BDA) = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\).

Puisque l'angle \(\angle ABD\) est droit, la droite \((BD)\) est bien perpendiculaire au rayon \([AB]\) en \(B\). L'affirmation de Nicolas est donc correcte. Cet exercice évalue la capacité à construire un raisonnement logique en utilisant les propriétés fondamentales de la géométrie plane.