Analyse du sujet de mathématiques : Suites pour la Première

Ce contrôle de mathématiques de niveau Première, spécialité maths, est une évaluation complète sur le chapitre des suites arithmétiques et géométriques. D'une durée d'1h30, il balaye l'ensemble des compétences essentielles à travers cinq exercices de difficulté progressive, alliant calculs purs et modélisation de situations concrètes. Ce type de sujet est un excellent entraînement pour les élèves visant à maîtriser les bases des suites numériques. Retrouvez ici une analyse détaillée de ce contrôle corrigé pour vous aider à progresser.

Exercice 1 : Modélisation par une suite arithmétique (4 points)

Cet exercice met en scène une situation concrète : la gestion d'un quota de pêche au cabillaud. L'objectif est de modéliser l'évolution annuelle de ce quota à l'aide d'une suite.

• On définit la suite \((u_n)\) où \(u_n\) représente le quota de l'année \(2019+n\). La diminution annuelle fixe de 30 tonnes nous oriente immédiatement vers une suite arithmétique.
• La première étape consiste à identifier le premier terme \(u_0\) (quota de 2019) et la raison \(r\). Le quota de 2018 est de 500 tonnes, donc \(u_0 = 500 - 30 = 470\) tonnes et la raison \(r = -30\).
• Il est ensuite demandé d'exprimer le terme général \(u_n\) en fonction de \(n\), en utilisant la formule explicite d'une suite arithmétique : \(u_n = u_0 + n \times r\). On obtient donc \(u_n = 470 - 30n\).
• L'exercice se conclut par le calcul d'un terme spécifique, \(u_{10}\), et la résolution d'une inéquation (\(u_n < 200\)) pour déterminer à partir de quelle année le quota passera sous un certain seuil.

Exercice 2 : Modélisation par une suite géométrique (3 points)

Le deuxième exercice aborde une situation d'augmentation en pourcentage, caractéristique des suites géométriques. Il s'agit du débit d'un ruisseau qui augmente de 3% par jour.

• Il faut d'abord établir la relation de récurrence entre \(d_{n+1}\) et \(d_n\). Une augmentation de 3% correspond à un coefficient multiplicateur de \(1 + \frac{3}{100} = 1,03\). La suite \((d_n)\) est donc géométrique de raison \(q = 1,03\).
• La question la plus technique est le calcul du volume total d'eau sur tout le mois de mars (31 jours). Cela revient à calculer la somme des 31 premiers termes de la suite géométrique, en utilisant la formule : \(S_n = d_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q}\).

Exercice 3 : Exercices techniques sur les suites (4,5 points)

Cet exercice regroupe trois questions indépendantes qui testent des savoir-faire calculatoires fondamentaux.

1. Suite arithmétique : Connaissant deux termes non consécutifs (\(u_4 = 12\) et \(u_{10} = -10\)), il faut retrouver la raison \(r\) et calculer un autre terme. La méthode consiste à utiliser la relation \(u_p = u_k + (p-k)r\).
2. Suite géométrique : De manière similaire, on donne deux termes (\(v_2 = 6\) et \(v_5 = 1,5\)) et on précise que la raison est négative. On doit trouver cette raison \(q\) et le premier terme \(v_0\) en résolvant l'équation \(v_5 = v_2 \times q^{5-2}\).
3. Somme de termes : On donne une suite définie explicitement par \(u_n = n + 2^n + 1\). Pour calculer la somme \(S = \sum_{k=0}^{10} u_k\), il faut décomposer cette somme en trois parties : \(\sum n\), \(\sum 2^n\) et \(\sum 1\). On reconnaît alors la somme des termes d'une suite arithmétique et d'une suite géométrique.

Exercice 4 : La suite arithmético-géométrique (6 points)

Cet exercice est le plus complet du sujet. Il traite d'un placement financier, un cas d'école pour l'étude des suites arithmético-géométriques de la forme \(u_{n+1} = au_n + b\).

• La première question consiste à modéliser la situation pour obtenir la relation de récurrence : \(C_{n+1} = 1,038 C_n - 76\).
• Pour étudier cette suite, on introduit une suite auxiliaire \((D_n)\) définie par \(D_n = C_n - 2000\). Le but est de démontrer que \((D_n)\) est une suite géométrique, ce qui simplifie grandement l'étude.
• Une fois la nature de \((D_n)\) prouvée, on peut trouver son expression explicite \(D_n = D_0 \times q^n\).
• En revenant à la suite initiale grâce à la relation \(C_n = D_n + 2000\), on obtient la forme explicite de \(C_n\).
• Les dernières questions sont des applications directes : calculer une valeur pour \(n=10\) et déterminer le nombre d'années \(n\) pour que le capital dépasse une certaine valeur, ce qui mène à une inéquation à résoudre (souvent avec la fonction logarithme).

Exercice 5 : Somme des termes et équation (3,5 points)

Le dernier exercice revient sur les suites arithmétiques. On connaît le premier terme \(u_0=5\) et la raison \(r=2\). La question est de trouver l'entier \(n\) tel que la somme des termes \(S_n = u_0 + \dots + u_n\) soit égale à 10605.

La résolution passe par l'utilisation de la formule de la somme \(S_n = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}\). En remplaçant \(u_n\) par son expression en fonction de \(n\), on obtient une équation du second degré en \(n\) de la forme \((n+1)(n+5) = 10605\). Il suffit alors de la résoudre pour trouver la valeur de \(n\).