Ce document propose un sujet de contrôle complet sur le chapitre des probabilités conditionnelles, spécialement conçu pour les élèves de Première Technologique. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, cette évaluation permet de tester en profondeur la maîtrise des concepts fondamentaux : lecture de tableaux à double entrée, construction et exploitation d'arbres pondérés, calcul de probabilités d'intersections et d'unions, utilisation de la formule des probabilités totales et caractérisation de l'indépendance de deux événements. Ce contrôle corrigé est un excellent outil de révision pour préparer les examens.

Le sujet est divisé en trois exercices progressifs, balayant toutes les compétences clés du programme. Chaque exercice est analysé ci-dessous pour vous aider à comprendre les attendus et les méthodes de résolution.

Exercice 1 : Tableaux, arbres et ensembles

Cet exercice de 5 points est une série de questions rapides visant à vérifier les savoir-faire de base. Il est essentiel de bien maîtriser ces fondamentaux pour aborder les problèmes plus complexes.

• Question 1 : Il s'agit de calculer une probabilité conditionnelle à partir d'un tableau à double entrée. On demande la probabilité qu'un adhérent soit mineur sachant qu'il fait de la compétition. La formule à appliquer est \( P(\text{Mineur} | \text{Compétition}) = \frac{\text{Card}(\text{Mineur} \cap \text{Compétition})}{\text{Card}(\text{Compétition})} \).
• Question 2 : Cette question évalue la capacité à lire un arbre pondéré et à utiliser la formule de l'intersection. Étant donné \( P(A) \) et \( P_A(B) \), on calcule \( P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) \).
• Question 3 : Un retour sur la théorie des ensembles. Il faut déterminer le cardinal de l'union de deux ensembles, A (nombres pairs) et B (multiples de 3). La formule clé est \( \text{Card}(A \cup B) = \text{Card}(A) + \text{Card}(B) - \text{Card}(A \cap B) \).
• Question 4 : Application directe de la formule de l'événement contraire : \( P(\bar{B}) = 1 - P(B) \).
• Question 5 : Cette question teste la définition de l'indépendance de deux événements. Si A et B sont indépendants, alors la probabilité de B sachant A, notée \( P_A(B) \), est simplement égale à \( P(B) \).

Exercice 2 : Fidélité et paiement mobile

Ce problème de 7 points, basé sur un contexte commercial, demande de la méthode et de la rigueur. Il faut extraire les informations de l'énoncé pour calculer diverses probabilités et valider ou invalider des affirmations en justifiant chaque réponse. La première étape consiste à organiser les données, par exemple dans un tableau de contingence.

Les événements sont F : "La commande est passée par un titulaire de la carte de fidélité" et M : "La commande est réglée par paiement mobile". L'énoncé donne : \( \text{Card}(\text{Total}) = 500 \), \( \text{Card}(F) = 150 \), \( \text{Card}(M) = 200 \) et \( \text{Card}(F \cap M) = 60 \).

• Affirmation 1 : On vérifie si la probabilité de l'intersection \( P(F \cap M) \) correspond à "un peu plus d'une commande sur dix".
• Affirmation 2 : Il faut calculer la probabilité conditionnelle \( P_M(F) = \frac{P(F \cap M)}{P(M)} \) et la comparer à 40%.
• Affirmation 3 : Pour tester l'indépendance des événements F et M, on doit vérifier si l'égalité \( P(F \cap M) = P(F) \times P(M) \) est vraie.
• Affirmation 4 : Cette question porte sur l'événement contraire de l'union. On calcule \( P(\bar{F} \cap \bar{M}) \). On peut utiliser le fait que si F et M sont indépendants, alors leurs contraires le sont aussi, ou bien calculer \( 1 - P(F \cup M) \).
• Affirmation 5 : Une question théorique sur les propriétés de l'indépendance, demandant si \( P_A(B) = P_B(A) \) est toujours vrai pour des événements indépendants.

Exercice 3 : Les articles renvoyés

Ce dernier exercice de 8 points est le plus complet. Il se divise en deux parties et mobilise la construction d'arbres, la formule des probabilités totales et l'inversion d'arbre, ainsi qu'une initiation à la répétition d'expériences identiques et indépendantes.

Partie A

On étudie le retour d'articles (Vêtements ou Accessoires).

• Question 1 : L'étape cruciale est de construire l'arbre pondéré représentant la situation à partir des pourcentages donnés dans l'énoncé.
• Question 2 : Calcul classique de la probabilité d'une intersection, \( P(V \cap R) \), en multipliant les probabilités sur les branches de l'arbre.
• Question 3 : Il s'agit d'appliquer la formule des probabilités totales pour calculer la probabilité de l'événement R : \( P(R) = P(V \cap R) + P(\bar{V} \cap R) \).
• Question 4 : C'est une question d'inversion de conditionnement. On cherche \( P_R(V) \), la probabilité que l'article soit un vêtement sachant qu'il a été renvoyé. On utilise la formule : \( P_R(V) = \frac{P(V \cap R)}{P(R)} \). Il faut ensuite interpréter le résultat par une phrase claire.

Partie B

On s'intéresse à un client passant deux commandes successives. L'hypothèse d'indépendance est centrale.

• Question 5 : Il faut modéliser la situation par un nouvel arbre de probabilités à deux niveaux, représentant les deux commandes.
• Question 6 : On calcule la probabilité de ne renvoyer aucun article (intersection d'événements contraires) et la probabilité de renvoyer exactement un article (union de deux cas incompatibles).
• Question 7 : La dernière question demande de calculer la probabilité de renvoyer "au moins un article", ce qui se fait plus simplement en passant par l'événement contraire ("ne renvoyer aucun article"), puis de comparer le résultat à la fraction 1/3 pour valider l'affirmation du service client.

Ce sujet de maths Première Technologique est un excellent entraînement pour maîtriser les probabilités conditionnelles.