Analyse complète du sujet de bac blanc de mathématiques (Première Technologique)

Ce document est un sujet de bac blanc de mathématiques destiné aux élèves de Première technologique (STMG, STI2D, STL, STD2A). D'une durée de 2 heures, ce contrôle est une excellente préparation à l'épreuve anticipée du baccalauréat. Il est structuré en deux parties : une première partie d'automatismes pour évaluer les compétences de base, et une seconde partie composée de deux exercices plus complexes sur l'étude de fonction et les probabilités. Ce corrigé détaillé vous permettra de vous auto-évaluer et de consolider vos connaissances.

Première partie : Automatismes (6 points)

Cette section, sans justification demandée, teste des savoir-faire essentiels à travers 12 questions rapides. C'est un excellent moyen de vérifier sa maîtrise des fondamentaux du programme de première.

• Questions 1, 2 et 3 : Application des pourcentages. On y aborde le calcul d'un taux d'évolution (baisse de 400 à 300), le calcul d'une augmentation (capital de 1200€ augmentant de 3%), et le calcul du taux d'évolution global suite à deux baisses successives de 10%. La maîtrise du coefficient multiplicateur est ici cruciale.
• Question 4 : Manipulation d'une expression littérale. À partir de la formule de la vitesse \(v = \frac{d}{t}\), il faut isoler la variable \(t\).
• Question 5 : Calcul littéral avec le développement de l'identité remarquable \((3x + 2)^2\).
• Question 6 : Résolution d'une inéquation du premier degré, \(6 - 3x \le 0\), et présentation de la solution sous forme d'intervalle.
• Question 7 et 8 : Lecture graphique. Il s'agit de résoudre graphiquement une inéquation de la forme \(f(x) > 3\) et de déterminer sur quel intervalle la fonction représentée est décroissante.
• Question 9 : Géométrie analytique avec la détermination de l'équation réduite d'une droite passant par deux points donnés, \(A(2; 1)\) et \(B(4; 7)\).
• Question 10 et 11 : Statistiques descriptives. On demande d'estimer la note moyenne d'une classe à partir de données groupées, puis d'interpréter la signification des quartiles.
• Question 12 : Initiation aux probabilités conditionnelles avec la traduction d'une phrase en notation probabiliste.

Deuxième partie : Exercice 1 - Étude de la concentration d'un médicament (7 points)

Cet exercice est une étude de fonction complète et contextualisée. On modélise la concentration d'un médicament dans le sang par la fonction polynomiale \(c(t) = t^3 - 12t^2 + 36t\) sur l'intervalle \([0; 6]\).

Partie A : Lectures graphiques

La première partie s'appuie sur la courbe représentative de la fonction pour en extraire des informations clés :

• Lecture de la concentration à un instant donné (\(t=1\)) et de la concentration maximale atteinte.
• Détermination graphique de la période pendant laquelle le médicament est efficace, c'est-à-dire l'intervalle de temps où \(c(t) \ge 16\) mg/L.

Partie B : Étude de la fonction

La seconde partie demande une analyse plus approfondie par le calcul :

• On commence par vérifier une forme factorisée de la fonction, \(c(t) = t(t-6)^2\), pour résoudre l'équation \(c(t)=0\).
• Le cœur de l'exercice est le calcul de la fonction dérivée \(c'(t)\), l'étude de son signe, et la construction du tableau de variation de \(c\). Cette étape permet de confirmer par le calcul le maximum trouvé graphiquement.
• Enfin, l'exercice se conclut sur la détermination de l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(t=0\). On demande également d'interpréter le nombre dérivé \(c'(0)\) comme la vitesse d'augmentation de la concentration à l'instant initial.

Deuxième partie : Exercice 2 - Probabilités et germination de graines (5 points)

Ce dernier exercice est un problème classique de probabilités conditionnelles et de variables aléatoires. Un laboratoire teste des graines provenant de deux fournisseurs A et B.

Partie A : Probabilités conditionnelles

Cette partie explore les probabilités liées au choix d'une seule graine :

• La première étape est de modéliser la situation à l'aide d'un arbre pondéré, un outil indispensable pour visualiser les différentes issues et leurs probabilités.
• On calcule ensuite la probabilité d'une intersection \(P(A \cap G)\) puis on utilise la formule des probabilités totales pour trouver la probabilité qu'une graine germe, \(P(G)\).
• Une question classique d'inversion de conditionnement est posée : sachant qu'une graine a germé, quelle est la probabilité qu'elle vienne du fournisseur A ?
• On termine en vérifiant si les événements "venir du fournisseur A" et "germer" sont indépendants, en justifiant la réponse et en l'interprétant dans le contexte.

Partie B : Variable aléatoire

On change d'échelle en s'intéressant à la germination de deux graines semées simultanément. On introduit une variable aléatoire \(X\) comptant le nombre de graines qui germent.

• Il faut déterminer la loi de probabilité de \(X\) en s'aidant d'un arbre ou en reconnaissant un schéma de Bernoulli.
• Le calcul de l'espérance mathématique \(E(X)\) et son interprétation sont demandés. L'espérance représente le nombre moyen de graines qui germent par godet sur un grand nombre d'expériences.
• Finalement, un calcul de probabilité \(P(X \ge 1)\) permet de vérifier une affirmation de la technicienne, mobilisant la notion d'événement contraire.

En conclusion, ce sujet de contrôle corrigé pour la première technologique est très complet et balaye des compétences fondamentales pour la réussite à l'examen.