Explorez le corrigé complet de ce sujet de mathématiques de niveau Première Technologique, spécifiquement conçu pour le chapitre sur les variables aléatoires. Ce contrôle, d'une durée d'1h30 et sans calculatrice, évalue en profondeur votre compréhension des concepts fondamentaux tels que la loi de probabilité, l'espérance et l'application de la loi de Bernoulli.

Ce document est une ressource précieuse pour les élèves souhaitant s'entraîner et valider leurs acquis, ainsi que pour les enseignants cherchant des supports d'évaluation pertinents. Chaque exercice est analysé en détail pour une préparation optimale.

Exercice 1 : L'attente au guichet

Cet exercice introductif permet de vérifier la maîtrise des bases de la lecture et de l'interprétation d'une loi de probabilité discrète. La variable aléatoire \(X\) représente le nombre de personnes attendant à un guichet.

• Question 1 : Lecture directe dans le tableau. Il fallait donner la probabilité \(P(X=3)\), qui est de 0,2.
• Question 2 : Calcul d'une probabilité cumulée. Pour trouver \(P(X \le 1)\), il faut additionner les probabilités des événements élémentaires concernés : \(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) = 0,1 + 0,3 = 0,4\).
• Question 3 : Traduction d'une phrase en langage probabiliste. L'événement "au moins trois personnes attendent" se traduit par l'inégalité \(X \ge 3\).
• Question 4 : Calcul de la probabilité de l'événement précédent. \(P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) = 0,2 + 0,1 = 0,3\).
• Question 5 : Identification d'une loi de Bernoulli. On tire une carte d'un jeu de 32 cartes et on s'intéresse à l'obtention d'un cœur. La variable \(Z\) vaut 1 en cas de succès (tirer un cœur) et 0 sinon. C'est la définition d'une expérience de Bernoulli. Le paramètre \(p\) est la probabilité du succès. Avec 8 cœurs sur 32 cartes, on a \(p = \frac{8}{32} = 0,25\).

Exercice 2 : Paniers, cartes et mises (QCM justifié)

Ce QCM exige non seulement de trouver la bonne réponse mais aussi de justifier le raisonnement. Il porte principalement sur le calcul et l'interprétation de l'espérance mathématique.

• Question 1 : Calcul de l'espérance d'une variable aléatoire \(Y\). En utilisant la formule \(E(Y) = \sum_{i} y_i P(Y=y_i)\), on obtient : \(E(Y) = 1 \times 0,5 + 2 \times 0,3 + 3 \times 0,2 = 0,5 + 0,6 + 0,6 = 1,7\). La bonne réponse est donc b).
• Question 2 : Interprétation de l'espérance. L'espérance représente la valeur moyenne que l'on peut espérer obtenir en répétant l'expérience un très grand nombre de fois. La réponse c) "Sur un grand nombre de clients, le nombre moyen de baguettes par client est proche de l'espérance de Y" est l'interprétation correcte.
• Question 3 : Espérance d'une loi de Bernoulli. Pour une variable aléatoire \(B\) suivant une loi de Bernoulli de paramètre \(p\), son espérance est simplement \(E(B) = p\). Ici, \(p=0,15\), donc \(E(B)=0,15\). La bonne réponse est b).
• Question 4 : Calcul de l'espérance pour un gain algébrique \(G\). L'espérance se calcule comme suit : \(E(G) = (-2) \times 0,5 + 0 \times 0,2 + 3 \times 0,3 = -1 + 0 + 0,9 = -0,1\). La bonne réponse est a).

Exercice 3 : Le ticket à gratter de Comptoir Valtrine

Cet exercice complet, en deux parties, constitue le cœur du contrôle. Il mobilise toutes les compétences du chapitre : déterminer une loi de probabilité, calculer et interpréter une espérance, et modéliser une situation avec des épreuves répétées et indépendantes.

Partie A – Le coût de l'opération

• Question 1 : Trouver une probabilité manquante. La somme des probabilités d'une loi de probabilité doit être égale à 1. On a donc \(0,8 + 0,12 + 0,06 + a = 1\), ce qui donne \(0,98 + a = 1\) et donc \(a = 0,02\).
• Question 2 : Calcul de probabilité. L'événement \(\{G \ge 25\}\) signifie "gagner un lot de 25 € ou plus". Sa probabilité est \(P(G \ge 25) = P(G=25) + P(G=150) = 0,06 + 0,02 = 0,08\).
• Question 3 : Calcul et interprétation de l'espérance. L'espérance du gain \(G\) est \(E(G) = 0 \times 0,8 + 10 \times 0,12 + 25 \times 0,06 + 150 \times 0,02 = 0 + 1,2 + 1,5 + 3 = 5,7\) €. Cela signifie qu'en moyenne, chaque ticket distribué coûte 5,70 € à l'enseigne.
• Question 4 : Application de l'espérance. Pour 2000 tickets, le coût total moyen prévu est \(2000 \times E(G) = 2000 \times 5,7 = 11400\) €. Pour respecter un budget de 10400 €, le coût moyen par ticket doit être de \(10400 / 2000 = 5,2\) €. En posant \(x\) la valeur du nouveau lot, on résout l'équation \(10 \times 0,12 + 25 \times 0,06 + x \times 0,02 = 5,2\), ce qui mène à \(x=125\) €.

Partie B – Deux tickets

• Question 5 : Modélisation avec un arbre. Un ticket est gagnant si le gain est non nul, soit une probabilité de \(P(G>0) = 1 - P(G=0) = 1 - 0,8 = 0,2\). La situation des deux tickets indépendants peut être modélisée par un arbre de probabilité à deux niveaux, avec les branches "Gagnant" (p=0,2) et "Perdant" (p=0,8).
• Question 6 : Loi de probabilité d'une nouvelle variable. La variable \(N\), nombre de tickets gagnants, peut prendre les valeurs 0, 1 ou 2. On calcule les probabilités associées : \(P(N=0) = 0,8 \times 0,8 = 0,64\), \(P(N=2) = 0,2 \times 0,2 = 0,04\), et \(P(N=1) = 1 - P(N=0) - P(N=2) = 0,32\). On obtient la loi de probabilité de \(N\).
• Question 7 : Espérance et application. L'espérance de \(N\) est \(E(N) = 0 \times 0,64 + 1 \times 0,32 + 2 \times 0,04 = 0,4\). Pour 500 clients recevant deux tickets, le nombre total de bons d'achat à prévoir est \(500 \times E(N) = 500 \times 0,4 = 200\) bons.