Ce document propose un sujet de contrôle de mathématiques corrigé pour le niveau Première technologique, spécifiquement axé sur le chapitre des variables aléatoires. Il s'agit d'un sujet complet d'une heure, avec calculatrice autorisée, qui balaye les compétences essentielles de ce chapitre : la définition d'une loi de probabilité, le calcul et l'interprétation de l'espérance, la reconnaissance d'une épreuve de Bernoulli, et l'introduction à la notion de fluctuation d'échantillonnage à travers une simulation en Python. Ce corrigé détaillé est un excellent support pour réviser et s'entraîner en vue d'une évaluation.

Exercice 1 : Le prix des places au Théâtre du Pontil

Cet exercice met en place une variable aléatoire discrète X qui représente le prix payé par un spectateur. La loi de probabilité de X est donnée sous forme de tableau, mais une des probabilités, notée a, est à déterminer.

• Question 1 : Déterminer la valeur de a. Pour qu'un tableau représente une loi de probabilité, la somme de toutes les probabilités P(X = x_i) doit être égale à 1. On a donc l'équation : P(X=12) + P(X=18) + P(X=25) = 1. En remplaçant par les valeurs données : 0,25 + 0,35 + a = 1. On en déduit facilement que 0,60 + a = 1, et donc a = 1 - 0,60 = 0,40.
• Question 2 : Décrire et calculer la probabilité de l'évènement {X ≤ 18}. L'évènement {X ≤ 18} signifie que "le spectateur choisi au hasard a payé un prix inférieur ou égal à 18 €". Pour calculer sa probabilité, on additionne les probabilités des issues correspondantes : P(X ≤ 18) = P(X=12) + P(X=18) = 0,25 + 0,35 = 0,60. Il y a donc 60% de chances que le spectateur ait payé 18 € ou moins.
• Question 3 : Calculer et interpréter l'espérance E(X). L'espérance d'une variable aléatoire est la valeur moyenne que l'on peut espérer obtenir en répétant l'expérience un grand nombre de fois. Elle se calcule avec la formule E(X) = Σ x_i × P(X=x_i). Ici, E(X) = (12 × 0,25) + (18 × 0,35) + (25 × 0,40) = 3 + 6,3 + 10 = 19,30. L'interprétation est la suivante : sur un très grand nombre de spectateurs, le prix moyen payé par spectateur est de 19,30 €.
• Question 4 : Problème d'optimisation de la recette. La recette moyenne pour une salle pleine de 450 places est 450 × E(X) = 450 × 19,30 = 8685 €. Ce montant est inférieur aux 9000 € souhaités. Pour atteindre cet objectif, il faut modifier le plein tarif, notons-le p', tout en gardant les autres tarifs et probabilités inchangés. La nouvelle espérance E'(X) sera E'(X) = (12 × 0,25) + (18 × 0,35) + (p' × 0,40). On veut que la recette moyenne soit d'au moins 9000 €, soit 450 × E'(X) ≥ 9000, ce qui implique E'(X) ≥ 9000 / 450 = 20. On doit donc résoudre l'inéquation : 3 + 6,3 + 0,40p' ≥ 20, soit 9,3 + 0,40p' ≥ 20. Cela donne 0,40p' ≥ 10,7, et donc p' ≥ 10,7 / 0,40 = 26,75. Le plein tarif devrait donc être fixé à au moins 26,75 € pour atteindre l'objectif de recette.

Exercice 2 : Les abonnés se réabonnent-ils ?

Cet exercice aborde la notion de fluctuation d'échantillonnage. Le choix d'un abonné qui se réabonne ou non est modélisé par une épreuve de Bernoulli de paramètre p=0,7. On simule 500 échantillons de 100 abonnés pour étudier la distribution des fréquences de réabonnement.

• Question 1 : Compréhension du code Python. a) La variable nb dans la fonction echantillon est un compteur qui s'incrémente à chaque fois qu'un succès est simulé (random() < p). Elle compte donc le nombre d'abonnés qui se réabonnent dans un échantillon de taille n. La fonction renvoie nb / n, c'est-à-dire la fréquence des succès observée dans cet échantillon. b) Pour compter le nombre de fréquences dans l'intervalle [p - ks, p + ks], la ligne à compléter est if p - k*s <= f <= p + k*s:.
• Question 2 : Analyse des résultats de la simulation. a) Le nombre 0,045 est l'écart-type, noté s, de la série des 500 fréquences simulées. L'intervalle de fluctuation à environ 95%, [p - 2s, p + 2s], est donc [0,7 - 2 × 0,045, 0,7 + 2 × 0,045], soit [0,61, 0,79]. b) Le programme indique que 479 fréquences sur 500 sont dans l'intervalle [p - 2s, p + 2s]. Le pourcentage est donc (479/500) × 100 = 95,8%, ce qui est très proche des 95% attendus théoriquement. c) La lecture du diagramme permet de déterminer le nombre d'échantillons ayant une fréquence de 0,76. d) Cette saison, on a observé une fréquence de 58/100 = 0,58. Cette valeur est en dehors de l'intervalle de fluctuation [0,61, 0,79]. On peut donc considérer ce résultat comme rare ou atypique si l'hypothèse de p=0,7 est vraie. Cela pourrait amener la compagnie à douter de son affirmation de 70% de réabonnement.

Exercice 3 : Ce que l'on sait des abonnés

Cet exercice de type Vrai/Faux avec justification permet de valider la compréhension des concepts théoriques sous-jacents.

• Affirmation 1 : VRAI. Le choix d'un abonné au hasard a deux issues possibles : "il se réabonne" (succès) ou "il ne se réabonne pas" (échec). Il s'agit donc bien d'une épreuve de Bernoulli. Le paramètre p est la probabilité de succès, donnée ici comme 0,7. La variable aléatoire Y suit donc bien une loi de Bernoulli de paramètre 0,7.
• Affirmation 2 : VRAI. L'affirmation dit qu'environ 2/3 des échantillons ont une fréquence dans l'intervalle [p-s, p+s]. Les résultats de la simulation (question 2 de l'exercice 2) montrent que 334 échantillons sur 500 sont dans ce cas. Le calcul de la proportion donne 334/500 = 0,668. Or, 2/3 ≈ 0,667. L'affirmation est donc bien vérifiée par la simulation.
• Affirmation 3 : FAUX. L'écart-type de la fréquence des succès dans un échantillon de taille n est donné par la formule σ = √(p(1-p)/n). Pour diviser cet écart-type par 2, il faut que le dénominateur √n soit multiplié par 2. Il faut donc multiplier n par 2² = 4. Pour diviser l'écart-type par 2, il faut donc quadrupler la taille de l'échantillon, et non la doubler.