Contrôle Corrigé de Mathématiques : Variables Aléatoires et Probabilités Conditionnelles

Ce sujet de maths pour Première Technologique est une évaluation complète sur les chapitres des variables aléatoires et des probabilités conditionnelles. D'une durée de deux heures et sans calculatrice, il met à l'épreuve la compréhension des concepts fondamentaux ainsi que la capacité à les appliquer dans des contextes variés. Ce document est une ressource idéale pour les élèves souhaitant s'entraîner et pour les enseignants cherchant un support de qualité. Vous y trouverez un corrigé détaillé pour chaque exercice, vous permettant de progresser efficacement.

Exercice 1 : Les rendez-vous non honorés du centre de santé

Cet exercice est une application directe du chapitre sur les variables aléatoires discrètes. Il est divisé en deux parties interdépendantes.

• Partie A - Les absences : On travaille à partir d'une loi de probabilité donnée sous forme de tableau pour la variable aléatoire \( X \) représentant le nombre de rendez-vous non honorés. La première question consiste à traduire en langage courant un événement comme \( \{X \le 1\} \) et à calculer sa probabilité, ce qui se fait par une simple addition : \( P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) \). Ensuite, il est demandé de calculer la probabilité de l'événement contraire, "au moins deux rendez-vous non honorés", soit \( P(X \ge 2) \). Enfin, la question centrale est de calculer l'espérance mathématique \( E(X) = \sum x_i P(X=x_i) \) et, surtout, de l'interpréter dans le contexte de la gestion du centre de santé, comme le nombre moyen de rendez-vous manqués par demi-journée.
• Partie B - Faut-il surréserver ? : Cette partie explore une problématique concrète : la surréservation pour compenser les absences. On introduit une nouvelle variable aléatoire \( Y \) qui suit une loi de Bernoulli. Il faut justifier pourquoi cette situation correspond à une expérience de Bernoulli et en déterminer le paramètre \( p \). L'exercice se complexifie en ajoutant deux rendez-vous, ce qui mène à une nouvelle variable aléatoire \( Z \). Il faut alors établir la loi de probabilité de Z et calculer son espérance. La question finale est une question de prise de décision, demandant de déterminer le nombre de surréservations optimales en respectant une contrainte de probabilité, ce qui mobilise toutes les compétences acquises dans l'exercice.

Exercice 2 : La roue de l'association d'aide à domicile

Cet exercice est un problème ouvert centré sur la notion d'espérance de gain. Dans le contexte d'un jeu de hasard, une roue divisée en 12 secteurs, il faut évaluer la rentabilité du jeu pour l'organisateur. Pour résoudre ce problème, il est nécessaire de :

1. Modéliser la situation à l'aide d'une variable aléatoire \( G \) représentant le gain du joueur.
2. Établir la loi de probabilité de \( G \), en associant à chaque gain possible (24€, 6€, 0€) sa probabilité (\( \frac{1}{12} \), \( \frac{2}{12} \), \( \frac{9}{12} \)).
3. Calculer l'espérance de gain \( E(G) \).
4. Calculer le gain moyen de l'association, qui est la mise moins l'espérance de gain du joueur : \( E_{asso} = 3 - E(G) \).
5. Comparer ce gain moyen à l'objectif de 50 centimes.
6. Si l'objectif n'est pas atteint, il faut déterminer la mise minimale \( m \) en résolvant l'inéquation \( m - E(G) \ge 0.50 \).

Exercice 3 : Le sondage sur la vaccination contre la grippe

Cet exercice aborde la notion de fluctuation d'échantillonnage, un concept clé en statistiques. À partir de simulations de sondages (400 échantillons de taille 100, puis 400 de taille 400), représentées par des histogrammes, on étudie l'impact de la taille de l'échantillon sur la distribution des fréquences. Les questions amènent à observer que lorsque la taille de l'échantillon \( n \) est multipliée par 4, l'écart-type \( s \) est divisé par 2, illustrant la relation \( s \propto \frac{1}{\sqrt{n}} \). Il est ensuite demandé de calculer des intervalles de fluctuation du type \( [p - 2s, p + 2s] \) (qui correspondent à un niveau de confiance d'environ 95%) et de les utiliser pour juger si une fréquence observée dans un sondage réel est plausible ou rare. Cet exercice prépare aux notions d'estimation et de prise de décision statistique.

Exercice 4 : Ce que Lina conclut du sondage

Faisant suite à l'exercice 3, celui-ci est un exercice de raisonnement critique. Il s'agit d'évaluer la validité de trois affirmations d'une élève concernant les résultats des sondages. C'est l'occasion de corriger des erreurs d'interprétation fréquentes en statistiques, comme le fait de confondre la fréquence d'un échantillon avec la proportion réelle de la population, ou de mal comprendre la relation entre la taille de l'échantillon et la précision de l'estimation.

Exercice 5 : Les stages à l'étranger d'une école d'arts appliqués

Ce dernier exercice est un problème classique de probabilités conditionnelles. Les données sont présentées sous forme de texte, et la première étape est de les organiser en construisant un arbre de probabilités pondéré. Les questions qui suivent sont une application directe du cours :

• Calculer la probabilité d'une intersection d'événements en utilisant la formule \( P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) \).
• Appliquer la formule des probabilités totales pour calculer la probabilité d'un événement.
• Inverser l'arbre de probabilité pour calculer une probabilité conditionnelle \( P(G|S) \) à l'aide de la formule \( P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \).
• Tester l'indépendance de deux événements G et S en comparant \( P(G \cap S) \) avec le produit \( P(G) \times P(S) \). Il faut ensuite savoir traduire le résultat (indépendance ou non) en une phrase concrète relative au contexte de l'exercice.