Ce sujet de contrôle de mathématiques niveau Première Technologique est axé sur les automatismes, un chapitre essentiel pour consolider les bases et préparer aux épreuves du baccalauréat. Ce document propose un corrigé détaillé pour chaque question, permettant aux élèves de s'auto-évaluer et de comprendre leurs erreurs. Le contrôle est divisé en cinq parties thématiques : proportions et évolutions, calcul littéral, fonctions et droites, statistiques, et enfin ensembles et logique. Il est conçu pour être réalisé en 45 minutes, sans calculatrice.

Automatismes : proportions et évolutions (4 points)

Cette première partie évalue la maîtrise des pourcentages et des proportions, des compétences cruciales dans de nombreuses situations de la vie courante et professionnelle.

• Question 1 : Il s'agit de retrouver une valeur initiale après l'application d'un pourcentage d'augmentation. Si un loyer augmente de 20% pour atteindre 660 €, on doit effectuer un calcul de taux d'évolution réciproque pour trouver le loyer de départ. Cela revient à diviser la valeur finale par le coefficient multiplicateur (1,20).
• Question 2 : Cet exercice demande de calculer le taux d'évolution global résultant de deux évolutions successives : une baisse de 20% suivie d'une hausse de 20%. Il faut appliquer les coefficients multiplicateurs correspondants (0,80 et 1,20) pour trouver le coefficient global et en déduire le taux.
• Question 3 : Similaire à la première question, il faut déterminer le taux d'évolution réciproque qui permet de compenser une baisse de 20%. C'est une application directe de la formule du taux réciproque.
• Question 4 : Un calcul de proportion simple est demandé. Il faut déterminer le nombre de visiteurs correspondant à une fraction donnée (3/8) d'un total de 1200.

Automatismes : calcul (5 points)

La deuxième section se concentre sur les fondamentaux du calcul algébrique, incluant le développement, la factorisation, la manipulation de formules et la résolution d'inéquations.

• Question 5 : Il est demandé de développer et réduire l'expression \((x-3)^2\). C'est une application directe d'une identité remarquable.
• Question 6 : La factorisation de l'expression \(4x^2 + 12x\) est requise. L'objectif est d'identifier et de mettre en évidence le facteur commun, ici \(4x\).
• Question 7 : Manipulation d'une formule littérale. À partir de la formule du périmètre d'un rectangle \(P = 2(L+l)\), il faut isoler et exprimer la largeur \(l\) en fonction de \(P\) et \(L\).
• Question 8 : Résolution de l'inéquation du second degré \((x-1)(x+3) \le 0\). La méthode attendue est l'utilisation d'un tableau de signes pour étudier le signe du produit en fonction de \(x\).
• Question 9 : Un calcul de base sur les fractions : la division. Il faut calculer \(\frac{3}{4} \div \frac{9}{2}\) et présenter le résultat sous forme de fraction irréductible.

Automatismes : fonctions et droites (6 points)

Cette partie évalue la capacité à interpréter graphiquement des informations sur les fonctions et les droites, ainsi que des calculs de base en géométrie analytique.

• Question 10 : Résolution graphique de l'équation \(f(x) = 4\). Il faut lire sur le graphique l'abscisse du point de la courbe \(C_f\) ayant pour ordonnée 4.
• Question 11 : Résolution graphique de l'inéquation \(f(x) < 0\). Il s'agit d'identifier les intervalles où la courbe représentative de \(f\) est située strictement en dessous de l'axe des abscisses.
• Question 12 : Lecture du sens de variation d'une fonction. Il faut déterminer l'intervalle sur lequel la fonction \(f\) est croissante en observant la courbe.
• Question 13 : Détermination graphique de l'équation réduite d'une droite. En lisant l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur sur le graphique, on peut établir l'équation de la droite \(D\).
• Question 14 : Calcul du coefficient directeur d'une droite passant par deux points \(A(-2; 7)\) et \(B(4; -2)\), en utilisant la formule \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\).
• Question 15 : Test d'appartenance d'un point à une courbe. Il faut vérifier par le calcul si les coordonnées du point \(K(2; 11)\) satisfont l'équation \(y = x^2 + 3x + 1\).

Automatismes : statistiques (3 points)

Cette section porte sur des calculs statistiques de base.

• Question 16 : Interprétation d'un diagramme circulaire. Il faut utiliser la proportionnalité entre l'angle d'un secteur (72°) et l'effectif total (250) pour trouver l'effectif correspondant à ce secteur.
• Question 17 : Calcul d'une moyenne pondérée. À partir d'un tableau donnant le nombre de nuits réservées par des clients, il faut calculer le nombre moyen de nuits par client.
• Question 18 : Conversion d'un pourcentage en angle. Il faut calculer l'angle en degrés correspondant à 30% des réponses dans un diagramme circulaire.

Automatismes : ensembles et logique (2 points)

La dernière partie teste la compréhension de la logique mathématique et la manipulation des ensembles de nombres.

• Question 19 : Il s'agit de trouver un contre-exemple pour réfuter une proposition universelle. Pour "pour tout réel \(x, x^2 \ge x\)", il suffit de trouver une seule valeur de \(x\) pour laquelle l'inégalité est fausse.
• Question 20 : Manipulation des intervalles. Il est demandé de calculer l'union des intervalles \(A = ]-\infty; 2]\) et \(B = [-1; 6[\) et de donner le résultat sous forme d'un unique intervalle.