Ce devoir commun de mathématiques pour la classe de Première Technologique est un sujet complet de 2 heures, conçu pour évaluer les compétences des élèves sur plusieurs chapitres clés du programme : les automatismes, les suites numériques, les polynômes du second degré et la dérivation. La calculatrice étant interdite, ce contrôle met l'accent sur la maîtrise des techniques de calcul fondamentales et du raisonnement mathématique.

Ce document est une ressource précieuse pour les élèves souhaitant s'entraîner en conditions réelles. Vous y trouverez un corrigé détaillé qui vous permettra de comprendre vos erreurs et de progresser. Mots clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Première technologique, automatismes, suites arithmétiques et géométriques, polynômes du second degré, dérivation globale, étude de fonction.

Première Partie : Automatismes (6 points)

Cette section teste des compétences de base essentielles, sans justification exigée. Elle couvre un large éventail de notions.

• Questions 1, 2, 3 : Pourcentages et évolutions. On aborde le calcul d'une augmentation (prix augmentant de 4%), la recherche d'une valeur initiale après une baisse (taux d'évolution réciproque), et le calcul d'un taux d'évolution global suite à deux augmentations successives de 10%.
• Question 4 : Calculs de fractions. Un calcul simple d'addition de fractions, \( \frac{2}{5} + \frac{3}{10} \), nécessitant une mise au même dénominateur.
• Question 5 : Factorisation. Il s'agit de factoriser une expression simple du second degré, \( 3x^2 - 12x \), en identifiant un facteur commun.
• Question 6 : Inéquations du second degré. Résolution de l'inéquation produit \( (x-2)(x+6) \le 0 \), qui se résout idéalement à l'aide d'un tableau de signes.
• Question 7 : Lecture graphique du nombre dérivé. À partir de la courbe d'une fonction \( f \) et de sa tangente \( T \) au point d'abscisse 1, il faut déterminer graphiquement la valeur de \( f'(1) \), qui correspond à la pente de la tangente.
• Question 8 : Lecture graphique d'inéquations. Toujours avec le même graphique, il est demandé de résoudre l'inéquation \( f(x) \ge 2 \).
• Question 9 : Équation de droite. Détermination de l'équation réduite de la droite passant par deux points donnés \( A(2; -1) \) et \( B(5; 8) \).
• Question 10 : Suites récurrentes. Calcul des premiers termes d'une suite définie par récurrence : \( u_0 = 3 \) et \( u_{n+1} = 2u_n - 1 \).
• Question 11 : Moyenne pondérée. Un calcul de moyenne simple avec des coefficients.
• Question 12 : Proportions. Calcul d'une proportion au sein d'une population donnée.

Deuxième Partie : Exercice 1 - La téléassistance des personnes âgées (4 points)

Cet exercice porte sur la modélisation d'une situation concrète à l'aide d'une suite géométrique. Le nombre de bénéficiaires d'un service, initialement de 1600, augmente de 25% par an.

• On demande de calculer les premiers termes \( u(1) \) et \( u(2) \) pour s'approprier le modèle.
• La question centrale est de justifier que la suite \( (u_n) \) est géométrique, de préciser sa raison, et de donner son expression explicite \( u_n \) en fonction de \( n \).
• L'étude du sens de variation de la suite est ensuite demandée, ce qui est direct connaissant la raison et le premier terme.
• L'exercice se termine par la résolution d'un problème de seuil (trouver à partir de quand le nombre de bénéficiaires dépassera 3500) et la vérification d'une affirmation chiffrée.

Deuxième Partie : Exercice 2 - La billetterie d'une tournée de concerts (4 points)

Cet exercice est une étude complète de fonction polynôme du second degré, \( B(t) = -2t^2 + 24t \), modélisant des ventes de billets sur 12 jours.

• L'analyse commence par un calcul d'image et une interprétation, suivi d'une résolution graphique de l'équation \( B(t) = 54 \).
• La partie algébrique se concentre sur l'inéquation \( B(t) \ge 540 \) (soit \( B(t) \ge 54 \) car \( B(t) \) est en dizaines de billets). Il faut vérifier une forme factorisée de \( B(t) - 54 \) puis dresser un tableau de signes pour résoudre l'inéquation.
• Enfin, il est demandé de factoriser \( B(t) \), de résoudre \( B(t) = 0 \) pour en déduire l'axe de symétrie de la parabole, et de déterminer le jour où les ventes sont maximales, c'est-à-dire le sommet de la parabole.

Deuxième Partie : Exercice 3 - Le stock d'un entrepôt de jouets (4 points)

Le dernier exercice est une étude de fonction utilisant la dérivation. Le stock est modélisé par une fonction polynôme du troisième degré, \( S(t) = -t^3 + 9t^2 + 50 \).

• Après des calculs d'images et leur interprétation, on passe au cœur de l'analyse.
• Il faut calculer la fonction dérivée \( S'(t) \) et vérifier qu'elle peut s'écrire sous une forme factorisée, \( S'(t) = -3t(t - 6) \).
• L'étude du signe de cette dérivée permet de dresser le tableau de variations complet de la fonction \( S \) sur l'intervalle d'étude \( [0; 9] \). On en déduit le stock maximal et le moment où il est atteint.
• L'exercice se conclut sur le calcul d'un nombre dérivé en un point, \( S'(8) \), la détermination de l'équation de la tangente correspondante, et surtout l'interprétation de \( S'(8) \) comme la vitesse de variation du stock à un instant donné.