Ce sujet de bac blanc de mathématiques pour la voie technologique (Première) est une épreuve complète de 2 heures, conçue pour évaluer les compétences des élèves sur plusieurs chapitres clés du programme. La calculatrice étant interdite, ce contrôle met l'accent sur la maîtrise des calculs fondamentaux et la connaissance des formules. Il se divise en deux grandes parties : une première partie d'automatismes rapides et une seconde partie composée de trois exercices de réflexion sur les suites, les statistiques à deux variables, la dérivation et les probabilités.

Ce type de sujet est un excellent entraînement pour l'épreuve anticipée de mathématiques du baccalauréat. Découvrez notre analyse détaillée exercice par exercice de ce contrôle corrigé.

Première partie – Automatismes

Cette section, notée sur 6 points, teste 12 compétences essentielles à travers des questions à réponse directe.

• Questions 1 à 3 : Pourcentages et évolutions. Ces questions évaluent la capacité à manipuler les pourcentages. Il faut calculer une augmentation de 2% sur un salaire de 1800€, retrouver une valeur initiale après une hausse de 8% (taux d'évolution réciproque), et déterminer le taux de variation nécessaire pour annuler une baisse de 50%. La maîtrise des coefficients multiplicateurs est ici indispensable.
• Question 4 : Calculs de fractions. Une opération simple mais fondamentale : calculer les \(\frac{2}{5}\) de \(\frac{3}{2}\), ce qui revient à effectuer le produit \(\frac{2}{5} \times \frac{3}{2}\).
• Questions 5 et 6 : Polynômes du second degré. La question 5 demande de factoriser l'expression \(x^2 - 10x + 25\), qui est une identité remarquable de la forme \((a-b)^2\). La question 6 consiste à résoudre l'équation simple \(x^2 = 36\), qui admet deux solutions.
• Questions 7 à 9 : Lecture graphique d'une fonction. À partir de la représentation graphique d'une fonction \(k\) et d'une droite \(L\), il est demandé de résoudre graphiquement l'inéquation \(k(x) \leq 0\), de déterminer sur quel intervalle la fonction est décroissante, et de lire graphiquement l'équation réduite de la droite \(L\).
• Questions 10 et 11 : Statistiques descriptives. Il s'agit de calculer la moyenne d'une série de données présentée dans un tableau, puis d'interpréter un diagramme en bâtons pour en extraire une proportion en pourcentage.
• Question 12 : Probabilités conditionnelles. La dernière question de cette partie demande de calculer une probabilité conditionnelle, \(P_C(T)\), à l'aide d'un tableau de contingence, en appliquant la formule \(P_C(T) = \frac{P(C \cap T)}{P(C)}\).

Deuxième partie - Exercice 1 : Les écoutes d'un podcast musical

Cet exercice de 4 points est un problème classique d'application des suites numériques. On modélise le nombre d'écoutes hebdomadaires d'un podcast.

• Modélisation par une suite géométrique : Le nombre d'écoutes, noté \(u(n)\), augmente de 50% chaque semaine. Il s'agit donc d'une suite géométrique de premier terme \(u(0) = 3200\) et de raison \(q = 1 + \frac{50}{100} = 1.5\).
• Formules et calculs : L'exercice guide l'élève pour établir la relation de récurrence \(u(n+1) = 1.5 \times u(n)\), puis pour trouver la forme explicite de la suite : \(u(n) = 3200 \times (1.5)^n\).
• Dépassement d'un seuil : Une question amène à déterminer la semaine à partir de laquelle le nombre d'écoutes dépassera 15 000.
• Comparaison de suites : Pour conclure, la croissance exponentielle de la suite géométrique \(u(n)\) est comparée à la croissance linéaire d'une suite arithmétique \(v(n) = 3200 + 4000n\), illustrant la différence de comportement à long terme entre ces deux modèles.

Deuxième partie - Exercice 2 : Le chiffre d'affaires d'une boutique de cosmétiques

Cet exercice de 4 points aborde le chapitre des statistiques à deux variables, et plus précisément l'ajustement affine d'un nuage de points.

• Ajustement linéaire : On dispose des données du chiffre d'affaires d'une boutique sur 6 ans. Deux droites d'ajustement sont proposées : \(D_1: y = 13x + 66\) et \(D_2: y = 12x + 69\).
• Point moyen et critère des moindres carrés : Il faut d'abord calculer les coordonnées du point moyen \(G(\bar{x}, \bar{y})\) du nuage. Ensuite, pour départager les deux droites, on utilise la méthode des moindres carrés : on calcule la somme des carrés des écarts verticaux entre les points observés et la droite, et on choisit la droite qui minimise cette somme.
• Extrapolation et fiabilité : Une fois le meilleur modèle choisi, on l'utilise pour estimer le chiffre d'affaires pour l'année 2026. L'exercice se termine par une réflexion sur la pertinence de cette prédiction, soulignant les limites de l'extrapolation.

Deuxième partie - Exercice 3 : Dérivation, probabilités et logique

Ce dernier exercice est un "vrai ou faux" où chaque réponse doit être rigoureusement justifiée.

• Affirmation 1 (Dérivation et sens de variation) : Pour vérifier si la fonction \(f(x) = x^3 - 12x\) est croissante sur l'intervalle \([-3; 3]\), il est nécessaire de calculer sa dérivée \(f'(x) = 3x^2 - 12\), d'étudier le signe de cette dérivée et de dresser le tableau de variations complet de \(f\).
• Affirmation 2 (Équation de la tangente) : L'affirmation porte sur l'équation de la tangente à la courbe de la fonction \(g(x) = x^2 - 4x + 1\) au point d'abscisse 3. La justification requiert le calcul de \(g(3)\) et \(g'(3)\) pour appliquer la formule \(y = g'(3)(x-3) + g(3)\).
• Affirmation 3 (Probabilités et indépendance) : On teste l'indépendance de deux événements A et B en vérifiant si la condition \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\) est satisfaite avec les valeurs données.
• Affirmation 4 (Logique et réciproque) : L'énoncé propose une implication \(P: (x > 3 \implies x^2 > 9)\) et demande si sa réciproque \(Q: (x^2 > 9 \implies x > 3)\) est vraie. Il faut analyser la réciproque et trouver, si possible, un contre-exemple (par exemple, \(x=-5\)) pour invalider l'affirmation.