Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la Première Technologique (toutes séries) est une évaluation complète d'une durée d'1h30. Conçu sans calculatrice, il vise à tester la maîtrise des concepts fondamentaux sur les automatismes, les suites numériques et les polynômes du second degré. Ce document est un excellent outil de révision, proposant un corrigé détaillé pour chaque question, idéal pour s'entraîner en conditions réelles.

Le devoir est structuré en deux parties distinctes : une première partie d'automatismes rapides et une seconde partie composée de deux problèmes de fond, nécessitant justification et rédaction.

Première partie : Automatismes (4 points)

Cette section évalue la rapidité et la justesse sur des calculs et raisonnements de base. Huit questions à réponse directe couvrent divers aspects du programme :

• Pourcentages : Les questions 1, 2 et 3 portent sur l'application des pourcentages. Il s'agit de calculer une augmentation (hausse de 6% sur un prix de 30€), un taux d'évolution (passage de 250 à 200 adhérents) et un taux d'évolution global suite à des évolutions successives (hausse de 25% puis baisse de 20%). Ces exercices testent la maîtrise des coefficients multiplicateurs.
• Suites arithmétiques : La question 4 demande de calculer le terme de rang 10, \(u_{10}\), d'une suite arithmétique connaissant \(u_2 = 11\) et \(u_3 = 8\). Il faut d'abord déterminer la raison \(r\) de la suite, puis utiliser la formule explicite \(u_n = u_p + (n-p)r\).
• Calcul littéral : La question 5 consiste à développer et réduire une expression du second degré simple : \((x + 5)(x - 3)\).
• Équations : La question 6 demande de résoudre une équation produit-nul, \((3x - 6)(x + 4) = 0\), un automatisme essentiel du collège et du lycée.
• Inéquations : La question 7 porte sur la résolution d'une inéquation du second degré, \(-2(x - 1)(x - 5) > 0\). Il est attendu de donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle, ce qui implique de connaître le signe d'un trinôme en fonction de ses racines.
• Lecture graphique : La dernière question, la 8, est une résolution graphique d'équation. À partir de la courbe \(C_g\) d'une fonction \(g\), il faut trouver les abscisses des points pour lesquels \(g(x) = 3\).

Deuxième partie (16 points)

Cette partie est plus exigeante et demande des raisonnements structurés et des justifications claires. Elle est composée de deux exercices complets.

Exercice 1 : Les invendus d'un supermarché (Suites numériques)

Cet exercice de mise en situation aborde la modélisation de l'évolution d'une quantité d'invendus selon deux plans différents, faisant appel aux suites arithmétiques et géométriques. La quantité initiale est de 500 kg.

• Partie A - Le plan 1 : Ce plan modélise une baisse constante de 30 kg par semaine.
  • On identifie la suite \((a_n)\) comme étant une suite arithmétique. Il faut calculer les premiers termes, préciser sa nature et sa raison.
  • On demande d'établir la forme explicite de la suite, c'est-à-dire d'exprimer \(a_n\) en fonction de \(n\).
  • Enfin, il faut résoudre l'inéquation \(a_n < 300\) pour déterminer à partir de combien de semaines un objectif de réduction est atteint.
• Partie B - Le plan 2 : Ce second plan modélise une baisse en pourcentage de 10% par semaine.
  • On identifie cette fois la suite \((b_n)\) comme une suite géométrique. Le calcul du coefficient multiplicateur associé à la baisse est la première étape.
  • Comme pour la partie A, il faut déterminer la nature de la suite, sa raison, et sa forme explicite \(b_n = b_0 \times q^n\). L'étude du sens de variation de la suite géométrique est également demandée.
  • La résolution de l'objectif se fait par calculs successifs (la calculatrice étant interdite).
  • Une question finale amène à réfléchir sur les limites d'un modèle mathématique, en montrant que le modèle arithmétique devient incohérent sur le long terme (quantité négative).

Exercice 2 : L'arche d'entrée d'un marché de Noël (Polynômes du second degré)

Ce second problème est une étude de fonction complète d'un polynôme du second degré, \(h(x) = -0,75x(x-4)\), qui modélise une arche. L'étude se fait sur l'intervalle \([0; 4]\).

• Le travail commence par des calculs d'images et le développement de l'expression pour obtenir la forme développée \(ax^2+bx+c\).
• La question 3 est centrale : à partir de la forme factorisée, on doit déterminer l'axe de symétrie et le sommet de la parabole, ce qui correspond à la hauteur maximale de l'arche. Il faut ensuite dresser le tableau de variation complet de la fonction \(h\).
• La question 4 approfondit l'étude en s'intéressant aux points où la hauteur est supérieure à une certaine valeur. Cela se traduit par la résolution de l'inéquation \(h(x) \ge 2,25\). Pour cela, on guide l'élève vers la factorisation de \(h(x) - 2,25\) et l'établissement d'un tableau de signe.
• L'exercice se conclut par deux questions d'application concrète : vérifier si un chariot d'une certaine dimension peut passer sous l'arche, et déterminer le paramètre d'une nouvelle fonction pour une arche aux dimensions différentes, ce qui revient à résoudre une équation simple.

Ce contrôle corrigé de maths Première technologique est donc un excellent support pour réviser les chapitres sur les suites et les fonctions polynômes du second degré, en alliant technique et résolution de problèmes.