Ce contrôle corrigé de mathématiques pour le niveau Première Technologique porte sur les chapitres fondamentaux de la dérivation locale et globale. D'une durée d'une heure, il évalue la capacité des élèves à manipuler les outils de l'analyse de fonction, depuis le calcul de base de la fonction dérivée jusqu'à son application dans des problèmes concrets d'optimisation. Ce sujet est un excellent entraînement pour maîtriser les concepts de tangente, de sens de variation et de recherche d'extremums.

Les compétences clés testées dans ce sujet sont :

• Le calcul de la fonction dérivée d'un polynôme.
• La détermination de l'équation d'une tangente à une courbe.
• L'interprétation graphique du nombre dérivé comme pente de la tangente.
• L'étude du signe de la dérivée pour en déduire le tableau de variation d'une fonction.
• La résolution de problèmes d'optimisation pour trouver un maximum ou un minimum.

Exercice 1 : Deux tangentes horizontales

Cet exercice est une introduction classique au calcul de dérivée et à son interprétation géométrique. On étudie la fonction polynôme du troisième degré \(f\) définie par \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5\).

• Question 1 : La première étape consiste à calculer la fonction dérivée \(f'(x)\). En appliquant les règles de dérivation des fonctions puissances, on trouve \(f'(x) = 2 \times 3x^2 - 3 \times 2x - 12\), soit \(f'(x) = 6x^2 - 6x - 12\). Il faut ensuite vérifier que cette expression est égale à la forme factorisée donnée, \(6(x - 2)(x + 1)\), en développant cette dernière.
• Question 2 : On demande de calculer \(f'(-1)\) et \(f'(2)\). Ces deux valeurs sont nulles. L'interprétation est directe : lorsque le nombre dérivé en un point est nul, la tangente à la courbe en ce point est horizontale. Cela indique la présence d'un extremum local (maximum ou minimum).
• Question 3 : Il s'agit de trouver l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse 0. On utilise la formule générale \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\) avec \(a = 0\). Il faut donc calculer \(f(0) = 5\) et \(f'(0) = -12\). L'équation de la tangente est alors \(y = -12(x - 0) + 5\), soit \(y = -12x + 5\).

Exercice 2 : L'épidémie de bronchiolite

Cet exercice contextualise la notion de dérivation dans une situation réelle de santé publique. Il s'appuie sur l'analyse d'une courbe et d'un texte pour modéliser l'évolution d'une épidémie.

• Question 1 : Une simple lecture graphique est demandée pour trouver les valeurs de \(f(2)\) (nombre de nourrissons à la semaine 2) et \(f(8)\).
• Question 2 : Il faut déterminer graphiquement les nombres dérivés \(f'(2)\), \(f'(6)\) et \(f'(8)\). On rappelle que le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente. Pour \(f'(2)\), par exemple, on choisit deux points sur la tangente tracée en \(A\) et on calcule la pente \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\). On observe que \(f'(2) > 0\) (l'épidémie progresse), \(f'(6) \approx 0\) (proche du pic) et \(f'(8) < 0\) (l'épidémie régresse).
• Question 3 : Cette question teste la capacité à faire le lien entre des informations chiffrées (document 2) et leur représentation graphique (document 1). On compare les valeurs données dans le texte (progression de 24/semaine, reflux de 48/semaine) avec les pentes des tangentes calculées graphiquement.
• Question 4 : On propose un modèle mathématique pour la courbe, \(f(t) = -t^3 + 9t^2 + 20\). On calcule sa dérivée \(f'(t) = -3t^2 + 18t\). Le calcul de \(f'(5)\) donne 0. Ce résultat confirme que la vitesse de propagation de l'épidémie est nulle à la cinquième semaine, ce qui correspond au pic de l'épidémie (le nombre de cas est maximal).

Exercice 3 : Le tirage d'un premier roman

Cet exercice est un problème complet d'optimisation appliqué à l'économie d'une maison d'édition. L'objectif est de déterminer le nombre d'exemplaires à imprimer pour maximiser le bénéfice.

Partie A : Le coût de fabrication

• Question 1 : Le calcul de \(C(0) = 1000\) pour la fonction coût \(C(q) = 5q^3 - 60q^2 + 500q + 1000\) permet d'identifier les coûts fixes de l'entreprise (les coûts qui existent même si la production est nulle).
• Question 2 : On calcule la fonction dérivée \(C'(q) = 15q^2 - 120q + 500\).
• Question 3 : On calcule \(C'(6)\), qui représente le coût marginal pour une production de 600 exemplaires. En économie, le coût marginal correspond au coût supplémentaire engendré par la production d'une unité (ici, une centaine d'exemplaires) supplémentaire.

Partie B : Le bénéfice

• Question 4 : On établit l'expression de la recette \(R(q)\) puis du bénéfice \(B(q) = R(q) - C(q)\).
• Question 5 : On dérive la fonction bénéfice \(B(q)\) pour obtenir \(B'(q)\) et on vérifie la forme factorisée \(-15(q - 10)(q + 2)\) qui est fournie.
• Question 6 : C'est le cœur de l'analyse. Il faut étudier le signe de la dérivée \(B'(q)\), qui est un polynôme du second degré. Le signe de \(B'(q)\) sur l'intervalle \([0; 12]\) permet de dresser le tableau de variation de la fonction bénéfice \(B(q)\).
• Question 7 : Grâce au tableau de variation, on identifie la valeur de \(q\) pour laquelle le bénéfice est maximal. C'est la valeur qui annule la dérivée en passant d'un signe positif à un signe négatif. On conclut en calculant ce bénéfice maximal et en formulant une phrase de réponse claire.