Analyse du Contrôle de Mathématiques : Statistiques et Dérivation (Première Technologique)

Ce sujet de contrôle pour la classe de Première Technologique est une excellente évaluation des compétences sur deux chapitres clés : les statistiques à deux variables et la dérivation globale. Le contrôle, d'une durée de deux heures, allie des exercices d'application directe et des problèmes plus complexes qui demandent une prise d'initiative et un raisonnement approfondi. Ce corrigé détaillé vous guidera à travers chaque exercice, en mettant en lumière les méthodes et les savoir-faire essentiels. C'est un support idéal pour réviser et s'entraîner en vue des examens.

Exercice 1 : Le sucre d'un soda (Statistiques à deux variables)

Cet exercice constitue une application complète du chapitre sur les statistiques à deux variables. À partir de données expérimentales liant la concentration en sucre \( c_i \) et la masse volumique \( \rho_i \) d'une solution, l'élève doit mobiliser plusieurs compétences :

• Analyse d'un nuage de points : La première question demande d'observer la forme allongée du nuage de points pour justifier qu'un ajustement par une droite (ajustement affine) est pertinent.
• Calcul du point moyen : Il faut calculer les coordonnées du point moyen \( G(\bar{c}, \bar{\rho}) \), qui est le point dont les coordonnées sont les moyennes des coordonnées des points du nuage. C'est une étape fondamentale avant de déterminer la droite d'ajustement.
• Droite des moindres carrés : L'utilisation de la calculatrice est requise pour déterminer l'équation de la droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés. L'exercice demande de fournir l'équation sous la forme \( \rho = ac + b \), avec des arrondis précis. L'équation donnée est \( \rho = 0,385c + 998,2 \).
• Utilisation du modèle pour l'estimation : Les questions suivantes consistent à utiliser cette droite pour des estimations. On calcule une concentration en sucre (un antécédent) à partir d'une masse volumique (une image). Cela teste la capacité à manipuler l'équation et à résoudre une équation du premier degré.
• Interprétation et critique du modèle : L'exercice pousse à la réflexion en demandant de comparer le résultat à une étiquette, mais aussi de juger de la fiabilité du modèle lorsqu'on l'utilise pour des valeurs très éloignées du champ de l'expérience (extrapolation). C'est un point crucial de la modélisation statistique.

Exercice 2 : Mesurer l'écart à une droite

Cet exercice court approfondit la notion de qualité d'un ajustement. Il vise à faire comprendre le principe de la méthode des moindres carrés. On demande de calculer la somme des carrés des écarts (ou résidus) verticaux \( S = \sum (\rho_i - (ac_i+b))^2 \) pour une droite donnée, puis de la comparer à celle de la droite des moindres carrés. L'objectif est de conclure que la droite des moindres carrés est celle qui minimise cette somme, et donc qui "ajuste le mieux" le nuage de points.

Exercice 3 : Ordinateurs reconditionnés

Il s'agit d'un problème ouvert, également centré sur l'ajustement affine. Face à une série de données sur l'âge et le prix de revente d'ordinateurs, l'élève doit prendre l'initiative. La démarche attendue est la suivante :

1. Saisir les données dans la calculatrice.
2. Réaliser un ajustement affine pour modéliser la relation entre l'âge et le prix.
3. Utiliser l'équation de la droite obtenue pour répondre à la question posée : estimer le prix pour deux âges différents.
4. Distinguer l'interpolation (estimation à l'intérieur de la plage de données, ici pour 3,5 ans) de l'extrapolation (estimation en dehors, ici pour 9 ans), et commenter la fiabilité de cette dernière.

Cet exercice valorise l'autonomie et la capacité à mettre en œuvre une démarche de modélisation complète.

Exercice 4 : La meilleure droite par le point moyen (Dérivation)

Ce dernier exercice est le plus théorique et fait le lien entre les statistiques et la dérivation. Il a pour but de démontrer comment trouver la meilleure droite d'ajustement en utilisant les outils de l'analyse de fonction.

• Géométrie et équations de droites : On commence par calculer le point moyen \( G \) d'un petit nuage de trois points, puis on établit l'équation générale d'une droite de pente \( a \) passant par ce point \( G \).
• Modélisation d'une fonction : La question centrale est de construire la fonction \( S(a) \) qui représente la somme des carrés des écarts en fonction de la pente \( a \) de la droite. Le calcul mène à une fonction polynôme du second degré : \( S(a) = 2a^2 - 2a + 2 \). Cette étape requiert de la rigueur dans le calcul littéral, notamment le développement d'identités remarquables.
• Problème d'optimisation : Trouver la "meilleure" droite revient à trouver la pente \( a \) qui rend la somme \( S(a) \) minimale. C'est un problème d'optimisation classique qui se résout par une étude de fonction. Il faut dériver \( S(a) \) pour obtenir \( S'(a) \), étudier le signe de la dérivée, et dresser le tableau de variation de \( S \).
• Conclusion : Le tableau de variation révèle le minimum de la fonction, donnant ainsi la valeur optimale de \( a \). On en déduit l'équation de la droite recherchée, confirmant par le calcul les résultats que la calculatrice donne directement.