Découvrez un sujet de contrôle de mathématiques complet pour le niveau Première Technologique, axé sur les chapitres des suites arithmétiques et géométriques et les généralités sur les suites. Ce document d'une heure, sans calculatrice, est un excellent outil de révision et d'évaluation. Il est conçu pour tester la compréhension des définitions, des formules et leur application dans des contextes variés, incluant un problème concret et de l'algorithmique. Ce contrôle corrigé vous aidera à maîtriser les compétences clés du programme.

Exercice 1 - Échauffement sur les suites (4 points)

Cet exercice est une série de questions à réponse courte conçue pour vérifier rapidement les connaissances fondamentales sur les suites et les pourcentages. Chaque question teste un savoir-faire précis :

• Calculer les termes d'une suite définie par sa forme explicite, comme \(u(n) = 3n - 4\) ou \(v(n) = n^2 - 2n\).
• Maîtriser le lien entre les évolutions en pourcentage et les suites géométriques. Par exemple, déterminer le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 4%, ou retrouver le pourcentage de baisse correspondant à un multiplicateur de 0,85.
• Appliquer les formules des suites géométriques pour calculer un terme de rang donné, connaissant le premier terme \(w(0) = 200\) et la raison \(q = 0,5\).
• Faire de même pour une suite arithmétique, avec \(t(0) = -3\) et une raison \(r = 4\), pour trouver \(t(10)\).
• Déterminer la raison d'une suite géométrique à partir de deux termes consécutifs (12 et 18).
• Distinguer un modèle de croissance linéaire (arithmétique) d'un modèle de croissance exponentiel (géométrique) dans un contexte simple (loyer augmentant de 2% par an).

Exercice 2 - De la formule au sens de variation (6 points)

L'objectif de ce deuxième exercice est d'approfondir l'étude de suites spécifiques, en se concentrant sur la démonstration de leur nature et l'analyse de leur monotonie.

Partie 1 : Étude d'une suite arithmétique

On étudie la suite \((u_n)\) définie par \(u(n) = 9 - 2n\). Les étapes sont les suivantes :

• Calcul des premiers termes \(u(0), u(1), u(2)\) pour se familiariser avec la suite.
• Démonstration rigoureuse que la suite \((u_n)\) est arithmétique. Cela passe par le calcul de la différence \(u(n+1) - u(n)\) qui doit être une constante (la raison \(r\)).
• Déduction du sens de variation de la suite en se basant sur le signe de sa raison \(r\).

Partie 2 : Étude d'une suite géométrique

On s'intéresse à la suite \((v_n)\), une suite géométrique de premier terme \(v(0) = 81\) et de raison \(q = \frac{1}{3}\).

• Calcul des quatre premiers termes pour observer son comportement.
• Détermination de la forme explicite de la suite, c'est-à-dire l'expression de \(v(n)\) en fonction de \(n\).
• Analyse justifiée de son sens de variation, en considérant à la fois la valeur de la raison \(q\) (comprise entre 0 et 1) et le signe du premier terme \(v(0)\).

Partie 3 : Étude d'une suite définie par récurrence

La dernière suite, \((w_n)\), est définie par \(w(0) = 2\) et \(w(n+1) = 1,5 \times w(n)\). Il faut ici :

• Identifier la nature de la suite (géométrique) et sa raison.
• Déterminer son sens de variation.
• Calculer le terme \(w(2)\).

Exercice 3 - Une box de produits locaux par abonnement (10 points)

Ce dernier exercice est un problème complet qui met en application les suites arithmétiques pour modéliser une situation économique concrète. Il intègre également une partie importante sur l'algorithmique en Python.

Le contexte est celui d'une entreprise dont le nombre d'abonnés, noté \(a(n)\), augmente de 30 chaque mois, avec un nombre initial de \(a(0) = 400\).

• Modélisation et calculs : Il s'agit de reconnaître que \((a_n)\) est une suite arithmétique, de donner sa raison, puis de trouver sa forme explicite \(a(n) = 400 + 30n\). Cette formule est ensuite utilisée pour calculer le nombre d'abonnés après un an (\(a(12)\)) et interpréter ce résultat.
• Suite associée : On introduit une seconde suite, \(c(n) = 25 \times a(n)\), qui représente le chiffre d'affaires. Il faut calculer sa valeur pour \(n=12\) et déterminer sa raison.
• Algorithmique et Python : Le cœur de l'exercice est l'analyse d'un algorithme.
  • On demande de suivre l'exécution d'une fonction Python qui calcule la somme cumulée des abonnés mois après mois, en remplissant un tableau de trace pour comprendre l'évolution des variables à chaque étape de la boucle `while`.
  • Il faut interpréter la valeur finale retournée par l'algorithme : à quel mois le nombre total de box expédiées dépasse-t-il 2000 ?
  • Une question de réflexion propose de modifier une ligne du programme pour qu'il ne calcule plus un seuil sur la somme, mais sur le nombre d'abonnés mensuel \(a(n)\).
• Résolution de problème : Pour finir, l'élève doit résoudre par le calcul une inéquation (\(a(n) \ge 1000\)) pour déterminer la date à partir de laquelle l'entreprise devra embaucher, et formuler la réponse dans le contexte donné.