Découvrez notre sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Première Technologique, accompagné de son analyse détaillée. Ce devoir de 2 heures, sans calculatrice, est une excellente ressource pour réviser les chapitres sur les polynômes du second degré, l'étude de fonctions et les suites arithmétiques et géométriques. Il est conçu pour évaluer la maîtrise des concepts clés à travers des exercices variés, allant de la lecture graphique à la résolution de problèmes concrets et à l'analyse de suites.

Ce document est un outil pédagogique idéal pour les élèves souhaitant s'entraîner en conditions réelles et pour les enseignants à la recherche de supports d'évaluation. Chaque exercice est analysé pour mettre en lumière les compétences attendues.

Exercice 1 : Six paraboles express (réponses courtes)

Cet exercice d'introduction est un QCM axé sur la lecture graphique et l'analyse rapide de polynômes du second degré. Il teste la capacité à interpréter la représentation graphique d'une parabole \( C_k \).

• Question 1 & 2 : Résolution graphique d'équation et d'inéquation. Il s'agit de déterminer les racines de la fonction \(k\) (points d'intersection avec l'axe des abscisses) pour l'équation \(k(x) = 0\), et de trouver l'intervalle où la parabole est sous l'axe des abscisses pour l'inéquation \(k(x) < 0\).
• Question 3 : Dénombrement de solutions. L'objectif est de trouver le nombre de solutions de l'équation \(k(x) = -5\) en comptant les points d'intersection entre la parabole et la droite horizontale \(y = -5\).
• Question 4 & 5 : Racines d'un polynôme. La première question demande de vérifier si un nombre est une racine du polynôme \(x^2 - 5x + 6\) par le calcul. La seconde question demande d'identifier les racines à partir de la forme factorisée \(4(x - 2)(x + 7)\).
• Question 6 : Axe de symétrie. Il faut déterminer l'équation de l'axe de symétrie d'une parabole donnée par son expression factorisée \(x \mapsto 3(x - 2)(x - 6)\), en utilisant la propriété que l'abscisse du sommet est la moyenne des racines.

Exercice 2 : Une racine évidente, une racine cachée

Cet exercice se concentre sur l'étude analytique d'une fonction polynôme du second degré, \(f(x) = x^2 + x - 6\). Il mêle calcul algébrique, étude de signe et une initiation à l'algorithmique.

• Questions 1 & 2 : Factorisation d'un polynôme. Après avoir vérifié que 2 est une racine 'évidente' de \(f\), il faut utiliser cette information pour factoriser le polynôme sous la forme \(f(x) = (x - 2)(x + b)\) et en déduire la seconde racine.
• Question 3 : Signe et inéquation. Une fois les racines connues, l'exercice demande de dresser le tableau de signe de \(f(x)\) pour ensuite résoudre l'inéquation du second degré \(f(x) < 0\).
• Question 4 : Approche algorithmique. Pour résoudre une équation sans racine évidente, \(x^2 + x - 5 = 0\), on utilise un programme Python. Cette question évalue la compréhension d'un algorithme de balayage pour trouver une valeur approchée d'une solution.

Exercice 3 : Banquet et concert dans la même salle

Ce problème de mise en situation vise à modéliser des situations concrètes à l'aide de fonctions. Il s'agit d'un exercice transversal qui fait appel à la notion de proportionnalité inverse.

• Questions 1 & 2 : Modélisation d'une situation. À partir d'un tableau de données, il faut reconnaître une relation de proportionnalité inverse entre le nombre de serveurs \(u\) et le temps de dressage \(t\), en montrant que le produit \(u \times t\) est constant. Il faut ensuite exprimer \(t\) en fonction de \(u\) (\(t = 240/u\)) et utiliser cette formule.
• Question 3 : Interprétation graphique. Le Document 2 représente la durée de montage \(d\) en fonction de l'inverse du nombre de techniciens (\(1/n\)). La disposition des points sur une droite passant par l'origine permet de conclure à une proportionnalité et de trouver la relation \(d = 12/n\).
• Question 4 : Résolution de problème. La dernière question est un problème d'optimisation de temps. Il faut combiner les deux modèles établis, gérer des contraintes de temps et en déduire le nombre minimum de techniciens à prévoir.

Exercice 4 : Une suite née d'une parabole

Le dernier exercice fait le lien entre l'étude d'une fonction polynôme du second degré, \(f(x) = -x^2 + 6x + 7\), et une suite numérique définie par \(u_n = f(n)\). C'est un excellent exercice de synthèse.

• Question 1 & 2 : Premiers termes et nature de la suite. Il faut d'abord calculer les premiers termes de la suite \(u\) et ensuite utiliser ces valeurs pour démontrer que la suite n'est ni arithmétique, ni géométrique.
• Question 3 : Étude des variations. Cette question analyse une erreur classique de raisonnement. La méthode correcte consiste à étudier les variations de la fonction \(f\) en déterminant les coordonnées de son sommet. L'axe de symétrie de la parabole, \(x = 3\), permet de conclure que la suite \(u_n\) est croissante jusqu'à \(n=3\) puis décroissante.
• Question 4 : Forme factorisée et inéquation. Il faut vérifier une forme factorisée de \(f(x)\), puis l'utiliser pour résoudre l'inéquation \(u_n > 0\), ce qui revient à trouver les entiers naturels pour lesquels la parabole est au-dessus de l'axe des abscisses.