Ce document présente un sujet de contrôle de mathématiques corrigé destiné aux élèves de Première technologique. L'évaluation, d'une durée de 1h30, porte principalement sur le chapitre des polynômes du second degré et l'étude de fonctions, avec des applications concrètes et des questions de raisonnement. C'est un excellent support pour s'entraîner et réviser les notions clés avant un examen.

Le sujet est divisé en trois exercices distincts qui balayent l'ensemble des compétences attendues sur les fonctions trinômes : modélisation d'une situation économique, analyse graphique et algébrique, et raisonnement autour des propriétés des paraboles.

Exercice 1 : Le juste prix d'une salle d'escape game (Problème d'optimisation)

Cet exercice est un problème complet qui plonge l'élève dans une situation réaliste de gestion d'entreprise. L'objectif est de déterminer le prix optimal d'une entrée pour maximiser le bénéfice mensuel d'une salle d'escape game. Il est structuré en deux parties : la construction du modèle mathématique puis son exploitation.

• Partie A - Construire le modèle :
  • Il est d'abord demandé de justifier l'expression du nombre de joueurs en fonction du prix \(x\), soit \(N(x) = 600 - 20x\). Cette étape teste la capacité à traduire une situation concrète en une fonction affine.
  • Ensuite, l'élève doit construire la fonction bénéfice \(B(x)\). Cela implique de calculer le chiffre d'affaires (prix × nombre de joueurs) et de soustraire les coûts fixes et variables pour arriver à l'expression : \(B(x) = (x - 10)(600 - 20x) - 1500\).
  • La dernière étape de la modélisation consiste à manipuler cette expression pour obtenir ses différentes formes : la forme développée \(B(x) = -20x^2 + 800x - 7500\) et la forme factorisée \(B(x) = -20(x-15)(x-25)\), qui sera cruciale pour la suite.
• Partie B - Exploiter le modèle :
  • L'analyse commence par une étude de signe du bénéfice \(B(x)\) en utilisant sa forme factorisée. L'élève doit dresser un tableau de signe pour déterminer l'intervalle de prix pour lequel l'entreprise est rentable (\(B(x) > 0\)).
  • La question suivante introduit une contrainte de rentabilité : viser un bénéfice d'au moins 300 €. Cette question est traitée d'abord par une lecture graphique sur la courbe fournie, puis par une approche plus précise à l'aide de la fonction table de la calculatrice.
  • Le cœur de l'analyse du polynôme réside dans la recherche de son extremum. En utilisant les propriétés de symétrie de la parabole, l'élève doit trouver l'axe de symétrie et les coordonnées du sommet pour déterminer le bénéfice maximal. Cette analyse est synthétisée dans un tableau de variation de la fonction \(B\) sur l'intervalle d'étude \([10; 30]\).
  • Finalement, l'exercice se conclut par une question de synthèse demandant de formuler une recommandation claire au gérant, en indiquant le prix optimal, le nombre de joueurs correspondant et le bénéfice maximal attendu.

Exercice 2 : Paraboles et sécantes (QCM justifié)

Ce deuxième exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) où chaque réponse doit être justifiée. Il permet de vérifier rapidement la maîtrise de notions fondamentales sur les fonctions et les polynômes du second degré.

• Question 1 : Calcul du taux de variation d'une fonction polynôme \(f(x) = x^2 - 3x\) entre deux points. Un calcul de base pour comprendre la notion de pente moyenne.
• Question 2 : Identifier l'expression correcte d'une fonction du second degré à partir de sa représentation graphique. Cette question fait appel à la reconnaissance des racines sur le graphique pour utiliser la forme factorisée \(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\).
• Question 3 : Une question théorique sur le lien entre le signe du taux de variation et le sens de variation d'une fonction. Si le taux de variation est toujours négatif, la fonction est strictement décroissante.
• Question 4 : Déterminer les points d'intersection d'une parabole d'équation \(y = 3x^2 - 12\) avec l'axe des abscisses, ce qui revient à résoudre l'équation du second degré \(3x^2 - 12 = 0\).

Exercice 3 : Trouver le sommet sans formule

Ce dernier exercice propose une méthode alternative et élégante pour déterminer le sommet d'une parabole, sans recourir à la formule classique \(x = -b/(2a)\). Il s'appuie sur les propriétés de symétrie de la fonction polynôme \(p(x) = 2x^2 - 8x + 3\).

• La première étape consiste à résoudre l'équation \(p(x) = 3\). Les solutions de cette équation sont deux points de la parabole ayant la même ordonnée.
• Grâce à la symétrie de la parabole, on en déduit que l'abscisse du sommet se trouve exactement au milieu des deux solutions trouvées précédemment. Il faut donc calculer la moyenne de ces deux valeurs pour trouver l'axe de symétrie.
• Une fois l'abscisse du sommet connue, il suffit de calculer son image par la fonction \(p\) pour obtenir l'ordonnée. L'exercice se termine en dressant le tableau de variation complet de la fonction sur \(\mathbb{R}\).

En résumé, ce sujet de maths pour Première Technologique est très complet pour évaluer la maîtrise du chapitre sur les polynômes du second degré, alliant modélisation, calculs algébriques, lecture graphique et raisonnement.