BAC BLANC de Mathématiques (Première Spécialité) - Sujet Corrigé
Ce sujet de Bac Blanc pour la Première spécialité mathématiques est un excellent entraînement pour l'épreuve anticipée. D'une durée de 2 heures, il balaye une grande partie du programme à travers des exercices variés et complets. Ce document propose une analyse détaillée du sujet, exercice par exercice, pour vous aider à identifier les compétences clés et à vous préparer efficacement. Retrouvez ici un allié de choix pour vos révisions, un véritable contrôle corrigé pour viser l'excellence.
Exercice 1 : Étude complète d'une fonction (5 points)
Cet exercice est un classique de l'analyse de fonction, un incontournable des sujets de bac. L'objectif est d'étudier les variations de la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{2x + 1}{x^3 + 1}$. Pour ce faire, l'exercice est intelligemment découpé en deux parties :
- Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire. On introduit la fonction $g(x) = -4x^3 – 3x^2 + 2$. L'étude de cette fonction polynôme est la clé pour la suite. Il faut :
- Calculer sa dérivée : $g'(x) = -12x^2 - 6x = -6x(2x+1)$.
- Étudier le signe de la dérivée, qui est un polynôme du second degré.
- Dresser le tableau de variations complet de $g$.
- Utiliser le tableau de variation et le théorème des valeurs intermédiaires (implicitement, par lecture graphique) pour déterminer le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
- Partie B : Étude de la fonction principale $f$. Fort des résultats sur la fonction auxiliaire, on peut aborder l'étude de $f$. Les étapes sont :
- Calculer la dérivée de $f$ en utilisant la formule de dérivation d'un quotient. On doit montrer que $f'(x) = \frac{g(x)}{(x^3 + 1)^2}$.
- Étudier le signe de $f'(x)$, qui est directement lié au signe de $g(x)$ trouvé dans la partie A, car le dénominateur est un carré donc toujours positif.
- En déduire le tableau de variations final de la fonction $f$.
Cet exercice évalue en profondeur la maîtrise des outils de dérivation et leur application à l'étude des variations des fonctions.
Exercice 2 : Suites arithmético-géométriques et algorithmique (3,5 points)
Ce problème concret aborde le thème des suites numériques à travers un modèle d'évolution d'une forêt. On étudie la suite $(u_n)$ représentant le nombre d'arbres (en milliers) l'année $2010+n$. Ce type de problème est très fréquent et teste plusieurs compétences :
- Modélisation : Traduire l'énoncé (baisse de 4% et ajout de 2500 arbres) en une relation de récurrence, ici $u_{n+1} = 0.96u_n + 2.5$.
- Suite arithmético-géométrique : Reconnaître ce type de suite et appliquer la méthode de résolution standard. On introduit une suite auxiliaire $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - 62.5$.
- Démonstration : Prouver que la suite auxiliaire $(v_n)$ est une suite géométrique, en précisant sa raison.
- Forme explicite : Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire celle de $u_n$.
- Sens de variation : Étudier les variations de la suite $(u_n)$ en analysant le signe de $u_{n+1} - u_n$.
- Algorithmique : Compléter un programme Python qui détermine le rang à partir duquel la suite dépasse un certain seuil. Cela teste la compréhension de la structure d'une boucle "while" dans un contexte de suites.
Exercice 3 : Géométrie du plan et cercles (4 points)
Cet exercice se concentre sur la géométrie analytique dans un repère orthonormé. Il s'agit d'un problème complet qui fait appel aux équations de droites et de cercles. Les points de départ sont $E(2;1)$, $F(5;2)$ et $H(3;-2)$. Les questions s'enchaînent logiquement :
- Déterminer l'équation du cercle $\mathcal{C}$ de centre $E$ passant par $F$. Cela nécessite de calculer le rayon $EF^2$.
- Vérifier l'appartenance d'un point ($H$) au cercle.
- Déterminer l'équation de la tangente au cercle en un point ($F$ puis $H$). La méthode consiste à utiliser le fait que le rayon ($ \vec{EF} $) est un vecteur normal à la tangente.
- Calculer les coordonnées du point d'intersection de deux droites (les deux tangentes), ce qui revient à résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues.
- Déterminer la nature d'un quadrilatère ($EFGH$), ce qui demande de mobiliser ses connaissances sur les propriétés géométriques (calcul de longueurs, orthogonalité, etc.).
Exercice 4 : Probabilités et indépendance (1,5 point)
Cet exercice court mais dense teste la compréhension des concepts fondamentaux de probabilités. Étant donné $P(B) = \frac{3}{4}$ et $P(\bar{A} \cap B) = \frac{1}{6}$, il faut :
- Calculer $P(A \cap B)$. Cela se fait en utilisant la formule des probabilités totales sur la partition $\{A, \bar{A}\}$, qui mène à $P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$.
- Déterminer la valeur de $P(A)$ pour que les événements $A$ et $B$ soient indépendants. Il suffit d'appliquer la définition de l'indépendance: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ et de résoudre l'équation.
Partie 1 : Automatismes - QCM (6 points)
Cette première partie, sous forme de QCM, vise à évaluer des compétences de base indispensables. Elle couvre un large spectre du programme :
- Calcul numérique : Maîtrise des puissances de 10.
- Pourcentages : Application de pourcentages successifs.
- Algèbre : Résolution d'inéquation du premier degré, développement d'identités remarquables.
- Analyse : Lecture graphique de la position relative de deux courbes.
- Probabilités : Calcul de la probabilité d'une union d'événements et calcul de probabilités conditionnelles à partir d'un tableau à double entrée.
- Statistiques : Calcul et comparaison de moyennes et médianes.
- Géométrie analytique : Calcul du coefficient directeur d'une droite.
Ce sujet de maths type bac blanc est donc très complet et constitue une excellente préparation pour les élèves de première en spécialité mathématiques.