Contrôle Corrigé de Mathématiques : Polynômes du Second Degré et Suites (Première Spécialité)

Ce sujet de type contrôle, d'une durée de 2 heures, est destiné aux élèves de Première spécialité mathématiques. Il évalue en profondeur les compétences sur deux chapitres clés du programme : les polynômes du second degré et les généralités sur les suites numériques. Ce document propose une analyse détaillée de chaque exercice, mettant en lumière les méthodes de résolution et les savoir-faire essentiels. La calculatrice est autorisée.

Exercice 1 : Maîtrise de la forme canonique des polynômes du second degré

Cet exercice se concentre sur la forme canonique d'un trinôme, un outil fondamental pour l'étude des fonctions polynômes du second degré.

• La première question demande, à partir de l'équation d'une parabole donnée sous sa forme canonique \(y = 5(x + 4)^2 – 9\), d'identifier directement les coordonnées de son sommet \(S(\alpha; \beta)\) et l'équation de son axe de symétrie \(x = \alpha\).
• La deuxième question s'intéresse à la fonction \(f(x) = 5 – 3(x - 7)^2\). Il s'agit de dresser son tableau de variations complet en se basant sur le signe du coefficient dominant 'a' et les coordonnées du sommet.
• Enfin, la troisième question est un problème inverse : il faut déterminer la forme canonique d'une fonction du second degré connaissant son sommet \(S(1; -2)\) et un point de sa courbe représentative \(A(3; 4)\). Cela nécessite de poser la forme \(f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta\) et de trouver la valeur de 'a' grâce aux coordonnées du point A.

Exercice 2 : Résolution d'inéquations et position relative de courbes

Cet exercice aborde la résolution d'inéquations polynomiales, une compétence technique importante qui repose sur l'étude de signes.

• La première question propose de résoudre l'inéquation produit \((x - 3)(-x^2 + x - 2) \le 0\). La résolution passe par l'étude du signe de chaque facteur. Il est crucial ici de savoir déterminer le signe d'un trinôme du second degré, notamment en calculant son discriminant \(\Delta\) pour constater qu'il garde un signe constant.
• La seconde question porte sur la position relative de deux paraboles, \(C_f\) et \(C_g\), représentant les fonctions \(f(x) = x^2 + 2x – 7\) et \(g(x) = -x^2 + 3x – 1\). Pour déterminer quand \(C_f\) est au-dessus de \(C_g\), il faut résoudre l'inéquation \(f(x) > g(x)\), ce qui se ramène à l'étude du signe d'un nouveau polynôme du second degré.

Exercice 3 : Problème d'optimisation géométrique

Cet exercice est un problème classique d'optimisation qui illustre l'application des fonctions du second degré à des situations concrètes. On étudie le périmètre d'un rectangle inscrit sous la parabole d'équation \(f(x) = 4 - x^2\).

• La première étape consiste à modéliser la situation : il faut exprimer le périmètre du rectangle \(p(x)\) en fonction de la variable \(x\). Le calcul mène à une expression du second degré : \(p(x) = -2x^2 + 4x + 8\).
• Ensuite, l'objectif est de trouver le maximum de cette fonction périmètre sur l'intervalle d'étude [0; 2]. Pour cela, on dresse le tableau de variations de la fonction \(p\), ce qui révèle que le maximum est atteint au sommet de la parabole.
• La dernière question demande d'expliciter la valeur de \(x\) qui maximise le périmètre et la valeur de ce périmètre maximal.

Exercice 4 : Étude approfondie de suites numériques

Cet exercice explore différentes méthodes pour analyser le comportement de suites numériques, notamment leur sens de variation.

• La première partie concerne la suite définie explicitement par \(u_n = n^2 - 4n\). Pour démontrer qu'elle est croissante à partir d'un certain rang, la méthode de la différence \(u_{n+1} - u_n\) est requise. L'étude du signe de cette différence permet de conclure.
• La seconde partie se focalise sur la suite \(w_n = \frac{n-3}{2n+1}\). Après un calcul des premiers termes, il est demandé de prouver une forme alternative de l'expression, \(w_n = \frac{1}{2} - \frac{7}{2(2n+1)}\). Cette nouvelle écriture simplifie grandement l'étude du sens de variation. Elle permet aussi de justifier que \(w_n\) est toujours inférieure à \(\frac{1}{2}\). Finalement, il faut résoudre l'inéquation \(w_n \ge 0,49\) pour trouver le plus petit entier \(n\) vérifiant cette condition.

Exercice 5 : Suites, tableur et algorithmique

Ce dernier exercice fait le lien entre les suites, l'utilisation d'outils numériques (tableur, calculatrice) et la programmation en Python.

• Il met en scène une suite arithmético-géométrique \((u_n)\) définie par récurrence \((u_0 = 3, u_{n+1} = 0.4u_n + 6)\) et une suite arithmétique \((v_n)\) définie explicitement.
• La première question teste la compréhension des formules de tableur pour générer les termes de ces suites.
• La deuxième question fait appel à la calculatrice pour conjecturer le sens de variation et la limite de la suite \((u_n)\).
• La dernière partie est consacrée à l'algorithmique. Il s'agit de compléter une fonction Python qui calcule et renvoie le premier rang \(n\) pour lequel le terme \(u_n\) dépasse un seuil donné (ici, 9,99). Il faut ensuite déterminer la valeur retournée par cette fonction.