Obtenez le corrigé détaillé de ce contrôle de mathématiques pour la classe de Première, spécialité maths, sur le chapitre de la dérivation locale. Ce sujet, de niveau Première, est idéal pour s'entraîner et maîtriser les concepts fondamentaux du nombre dérivé et des tangentes. Il aborde la lecture graphique, le calcul de taux d'accroissement, la détermination d'équations de tangentes, et l'étude de positions relatives.

Ce document est une ressource pédagogique complète pour les élèves et les enseignants, proposant une analyse pas à pas de chaque exercice, avec un focus sur les compétences clés du programme officiel.

Exercice 1 : Lecture graphique du nombre dérivé

Cet exercice d'introduction teste la capacité à interpréter graphiquement les informations données par la courbe d'une fonction \(f\) et ses tangentes en des points spécifiques. Il est demandé de lire directement sur le graphique les valeurs de la fonction et de son nombre dérivé.

• Pour trouver \(f(-3)\), \(f(1)\) et \(f(2)\), il suffit de repérer les points de la courbe \(C_f\) d'abscisses -3, 1 et 2 et de lire leurs ordonnées.
• Pour déterminer \(f'(-3)\), \(f'(1)\) et \(f'(2)\), il faut calculer le coefficient directeur (la pente) des tangentes \(T_1\), \(T_2\) et \(T_3\) respectivement. Rappel : le nombre dérivé \(f'(a)\) est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a\).

Exercice 2 : Équation d'une tangente et tracé

L'exercice 2 se concentre sur l'application principale de la dérivation locale : la détermination de l'équation d'une tangente. On part d'informations connues sur un point A de la courbe et sur le nombre dérivé en ce point.

• Question 1a : Avec le point \(A(1; 1)\) (donc \(a=1\) et \(f(1)=1\)) et \(f'(1)=-3\), on utilise la formule de l'équation de la tangente : \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\). On obtient ainsi l'équation réduite de la tangente en A.
• Question 1b : Il s'agit de tracer la droite dont on vient de trouver l'équation sur le graphique fourni.
• Question 2 : Cette question combine lecture graphique et calcul. Il faut d'abord lire graphiquement \(f'(2)\) en estimant la pente de la tangente à \(C_f\) au point d'abscisse 2, puis lire \(f(2)\) pour enfin utiliser à nouveau la formule de la tangente et trouver son équation.

Exercice 3 : Esquisse d'une courbe représentative

Cet exercice est un problème de synthèse graphique. À partir d'un ensemble de conditions sur la fonction \(f\) et son nombre dérivé en plusieurs points, il faut dessiner une courbe possible pour \(f\). Les conditions incluent :

• Des points par lesquels la courbe doit passer : \(f(-2)=3\) et \(f(1)=-1,5\).
• Des pentes de tangentes en ces points : \(f'(-2)=-4\) (pente négative forte) et \(f'(1)=0\) (tangente horizontale, indiquant un extremum local).
• L'équation complète d'une tangente en un autre point : au point d'abscisse 3, la tangente est la droite d'équation \(y = -x+4\). Il faut donc tracer cette tangente et s'assurer que la courbe est bien tangente à cette droite au bon endroit.

Exercice 4 : Calcul du nombre dérivé par le taux d'accroissement

Cet exercice revient à la définition formelle du nombre dérivé pour la fonction polynomiale \(f(x) = 5x^2 - 8x - 10\).

• Question 1 : Il faut calculer le nombre dérivé \(f'(1)\) en utilisant la limite du taux d'accroissement : \(f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}\). Cela demande de développer \(f(1+h)\), de calculer \(f(1)\), de simplifier le quotient et de trouver la limite lorsque \(h\) tend vers 0.
• Question 2 : En utilisant la valeur de \(f'(1)\) trouvée précédemment et la valeur de \(f(1)\), on doit démontrer que l'équation de la tangente est bien \(y = 2x - 15\) en appliquant la formule \(y = f'(1)(x-1) + f(1)\).

Exercice 5 : Question de cours et application

Cet exercice est un classique pour vérifier la compréhension profonde de la notion de dérivabilité.

• Question 1 : C'est une démonstration de cours. Il faut montrer que pour la fonction carré \(x \mapsto x^2\), le nombre dérivé en un point \(a\) est \(2a\). La méthode est la même que dans l'exercice 4 : calcul de la limite du taux de variation \(\frac{(a+h)^2 - a^2}{h}\).
• Question 2 : On applique la même méthode du taux d'accroissement pour trouver le nombre dérivé de la fonction inverse \(g(x) = \frac{1}{x}\) au point d'abscisse -2, c'est-à-dire \(g'(-2)\).

Exercice 6 : Étude complète d'une fonction rationnelle

L'exercice le plus complet du sujet, qui aborde le domaine de définition, le calcul de dérivée, l'équation de tangente et la position relative d'une courbe par rapport à sa tangente. La fonction étudiée est \(f(x) = \frac{x^2 + 4x - 4}{x^2 - 2x + 2}\).

• Question 1 : On détermine l'ensemble de définition de \(f\) en s'assurant que le dénominateur \(x^2 - 2x + 2\) ne s'annule jamais. Pour cela, on calcule son discriminant \(\Delta\).
• Question 2 : On utilise la formule donnée de la dérivée \(f'(x)\) pour calculer les valeurs de \(f(2)\) et \(f'(2)\). La valeur \(f'(2)=0\) indique une tangente horizontale.
• Question 3 : On montre que l'équation de la tangente en \(x=2\) est \(y=4\), ce qui est une conséquence directe de \(f(2)=4\) et \(f'(2)=0\).
• Question 4 : Cette partie est dédiée à l'étude de la position relative de la courbe \( (C) \) par rapport à sa tangente \( (T) \). Pour ce faire, on étudie le signe de la différence \(f(x) - 4\). L'analyse du signe de l'expression \( \frac{-3(x-2)^2}{x^2 - 2x + 2} \) permet de conclure que la courbe est toujours en dessous de sa tangente.