Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Première, spécialité maths, est entièrement dédié au chapitre des probabilités conditionnelles. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, il est conçu pour évaluer la maîtrise des concepts fondamentaux à travers trois exercices progressifs. Ce document est une ressource idéale pour les élèves souhaitant s'entraîner et pour les enseignants cherchant un support d'évaluation complet sur les tableaux de contingence, les arbres pondérés et l'indépendance des événements.

Exercice 1 : Les poivrons du panier

Cet exercice introductif s'appuie sur un tableau de contingence (ou tableau à double entrée) qui répartit des poivrons selon leur couleur (Jaune, Rouge) et leur provenance (France, Espagne). Il permet de tester les compétences de base en lecture et interprétation de données.

• Calcul de probabilités simples et d'intersections : La première question demande de calculer les probabilités des événements simples \( F \): "le poivron vient de France" et \( J \): "le poivron est jaune", ainsi que la probabilité de leur intersection \( P(J \cap F) \). Cela revient à identifier les effectifs dans le tableau et à les diviser par l'effectif total.
• Probabilité d'une union : Il est ensuite demandé de déduire la probabilité de l'union \( P(J \cup F) \) en utilisant la formule clé : \( P(J \cup F) = P(J) + P(F) - P(J \cap F) \).
• Probabilités conditionnelles : L'exercice aborde ensuite le cœur du chapitre avec le calcul de probabilités conditionnelles. On doit déterminer \( P_J(F) \), la probabilité qu'un poivron vienne de France sachant qu'il est jaune, et l'interpréter. Une autre question, formulée en français, "On choisit un poivron provenant de France. Quelle est la probabilité qu'il soit jaune?", doit être traduite en notation mathématique \( P_F(J) \) et calculée.
• Indépendance des événements : La dernière question est un classique du chapitre : déterminer si les événements \( J \) et \( F \) sont indépendants. Pour cela, il faut vérifier si la condition \( P(J \cap F) = P(J) \times P(F) \) est respectée.

Exercice 2 : Le certificat de secourisme

Ce deuxième exercice utilise également un tableau de contingence, cette fois sur des données plus complexes concernant les détenteurs d'un certificat de secourisme (PSC1) dans un lycée, répartis par niveau (Seconde, Première, Terminale, Post-bac). L'objectif est de manipuler des proportions et des fréquences, qui sont des synonymes de probabilités dans ce contexte.

• Calculs de fréquences conditionnelles : Les questions 1, 2 et 3 sont des applications directes du calcul de probabilités conditionnelles à partir d'un tableau. Par exemple, "calculer le pourcentage d'élèves possédant le certificat parmi les élèves de Première" revient à calculer \( P(\text{Certificat} | \text{Première}) = \frac{\text{Card}(\text{Certificat} \cap \text{Première})}{\text{Card}(\text{Première})} \). L'exercice joue sur la formulation pour s'assurer de la bonne compréhension de l'univers de référence.
• Probabilités marginales et intersections : Les questions 4 et 6 portent sur le calcul de fréquences marginales (la proportion d'élèves de Première dans le lycée) et d'intersections (la proportion d'élèves de Terminale n'ayant pas le certificat dans le lycée).
• Application de pourcentages : Une question sort légèrement du cadre des probabilités pour tester une compétence de base sur les pourcentages d'évolution, un prérequis important.

Exercice 3 : Temps complet ou temps partiel

Le dernier exercice change de support et se concentre sur l'utilisation des arbres pondérés. Les données sont fournies dans un texte, et la première étape consiste à modéliser la situation.

• Construction d'un arbre pondéré : À partir d'informations comme "les hommes représentent 60% du personnel" (\(P(H) = 0,6\)) ou "40% des femmes travaillent à temps partiel" (\( P(\bar{C} | \bar{H}) = 0,4 \)), l'élève doit construire ou compléter un arbre de probabilités.
• Calcul d'intersections : En utilisant les branches de l'arbre, on calcule la probabilité d'événements intersections, par exemple \( P(C \cap H) \), grâce à la formule \( P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) \).
• Formule des probabilités totales : Pour calculer la probabilité d'un événement se trouvant au deuxième niveau de l'arbre (par exemple \( P(C) \)), il est indispensable d'utiliser la formule des probabilités totales : \( P(C) = P(C \cap H) + P(C \cap \bar{H}) \).
• Inversion de conditionnement : Les dernières questions sont les plus techniques et nécessitent d'inverser le conditionnement (parfois appelé formule de Bayes). On demande de calculer \( P_C(H) \), c'est-à-dire la probabilité qu'un salarié soit un homme sachant qu'il travaille à temps complet. Cela se calcule avec la formule : \( P_C(H) = \frac{P(C \cap H)}{P(C)} \), où le numérateur a été calculé avec l'arbre et le dénominateur avec la formule des probabilités totales.

En résumé, ce contrôle corrigé est un excellent outil de révision qui balaye toutes les compétences essentielles du chapitre sur les probabilités conditionnelles en Première.