Obtenez une analyse détaillée et le corrigé complet de ce contrôle de mathématiques pour la classe de Première, spécialité maths, centré sur le chapitre des statistiques à deux variables. Ce sujet, d'une durée d'1h30, est un excellent entraînement pour maîtriser l'analyse de données, l'ajustement affine et l'interprétation de modèles statistiques.

Ce document est une ressource pédagogique idéale pour les élèves de Première souhaitant s'exercer et pour les enseignants cherchant un sujet de contrôle prêt à l'emploi. Le corrigé met en lumière les compétences clés et les méthodes de résolution pas à pas.

Exercice 1 : Les visiteurs d'un aquarium

Cet exercice introductif aborde les notions fondamentales de lecture de données et de calcul de fréquences à partir d'un diagramme en barres et de données brutes. Le contexte est celui de l'analyse de la provenance des 240 000 visiteurs d'un aquarium sur une année, répartis entre la saison d'été et le reste de l'année.

• Question 1 : Tableau croisé d'effectifs. La première tâche consiste à utiliser les pourcentages donnés par le graphique pour compléter un tableau à double entrée (ou tableau de contingence). Il faut calculer les effectifs pour chaque croisement de modalités (par exemple, visiteurs d'Île-de-France en été). Un calcul type est : \( \text{Effectif} = \text{Total de la période} \times \text{Pourcentage de la catégorie} \). Pour les visiteurs d'Île-de-France en été, cela donne : \( 150\,000 \times 20\% = 30\,000 \).
• Question 2 : Fréquence marginale. Il est demandé de calculer la fréquence marginale des visiteurs étrangers. Cela implique de sommer les effectifs des étrangers sur les deux périodes (été et hors été) et de diviser par l'effectif total : \( F(\text{Étranger}) = \frac{\text{Total Étrangers}}{\text{Total Visiteurs}} \).
• Question 3 : Fréquence conditionnelle. Cette question teste la compréhension des probabilités conditionnelles. On cherche la fréquence des visiteurs estivaux parmi ceux venant d'Île-de-France. La formule est : \( F(\text{Été} | \text{Île-de-France}) = \frac{\text{Effectif(Été et Île-de-France)}}{\text{Effectif total(Île-de-France)}} \).
• Question 4 : Analyse critique. La dernière question demande de vérifier par le calcul une affirmation du rapport de l'aquarium et de la corriger si nécessaire, mobilisant ainsi le raisonnement et la capacité à communiquer une conclusion claire.

Exercice 2 : Le SMIC horaire de 2015 à 2024

Ce deuxième exercice constitue le cœur du sujet sur les statistiques à deux variables. Il s'appuie sur une série chronologique du SMIC horaire brut en France et explore sa modélisation par un ajustement affine.

Partie A : Lecture des données

• Question 1 : Taux d'évolution. Calcul classique du taux d'évolution global entre la première et la dernière année de la série : \( \text{Taux} = \frac{\text{Valeur Finale} - \text{Valeur Initiale}}{\text{Valeur Initiale}} \).
• Questions 2 et 3 : Représentation et analyse graphique. Il s'agit de compléter un nuage de points et d'identifier, par simple calcul de différences, la plus forte augmentation annuelle du SMIC.

Partie B : Point moyen et ajustement affine

• Question 4 : Calcul du point moyen G. Une compétence centrale du chapitre. Il faut calculer les coordonnées du point moyen \( G(\bar{x}, \bar{y}) \) du nuage de points. On calcule la moyenne arithmétique des abscisses \( \bar{x} = \frac{\sum_{i=0}^{9} x_i}{10} \) et la moyenne arithmétique des ordonnées \( \bar{y} = \frac{\sum_{i=0}^{9} y_i}{10} \).
• Questions 5 et 7 : Représentation graphique. Placement du point moyen G et tracé de la droite d'ajustement \( D \) dont l'équation est fournie.
• Question 6 : Vérification. On vérifie que le point moyen G appartient bien (à l'arrondi près) à la droite d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés, en substituant ses coordonnées dans l'équation de la droite : \( \bar{y} \approx 0.211\bar{x} + 9.33 \).
• Question 8 : Interprétation du coefficient directeur. Une question d'interprétation essentielle : que représente le coefficient directeur \( a = 0.211 \) dans le contexte de l'exercice ? Il s'agit de l'augmentation annuelle moyenne du SMIC horaire en euros, selon le modèle linéaire.

Exercice 3 : Prévoir le SMIC avec le modèle

Le dernier exercice se concentre sur l'utilisation du modèle d'ajustement affine \( y = 0.211x + 9.33 \) pour réaliser des prédictions et évaluer sa pertinence.

• Question 1 : Calcul d'un résidu. On utilise le modèle pour calculer la valeur du SMIC prédite pour 2024 (rang \(x=9\)) et on la compare à la valeur réelle. La différence \( \text{écart} = y_{\text{réel}} - y_{\text{modèle}} \) est appelée le résidu.
• Question 2 : Extrapolation. Il s'agit d'utiliser le modèle pour estimer une valeur future, ici le SMIC en 2026 (rang \(x=11\)). C'est un exemple classique d'extrapolation.
• Question 3 : Résolution d'inéquation. Pour déterminer l'année où le SMIC dépassera 12,50 €, il faut résoudre l'inéquation du premier degré \( 0.211x + 9.33 > 12.50 \). Le résultat \( x \) devra ensuite être interprété pour trouver l'année correspondante.
• Question 4 : Fiabilité du modèle. Cette question ouverte demande une réflexion sur les limites du modèle linéaire. En observant que les derniers points réels sont significativement au-dessus de la droite d'ajustement, on peut conclure que le modèle a tendance à sous-estimer les augmentations récentes et que sa fiabilité pour des prédictions lointaines est discutable.

En somme, ce sujet de maths de Première est très complet et balaye l'ensemble des compétences attendues sur le chapitre des statistiques à deux variables, de l'analyse de données brutes à la modélisation et à l'analyse critique d'un modèle.