Analyse du Contrôle de Mathématiques pour Terminale Technologique

Ce document est un corrigé détaillé d'un sujet de mathématiques de niveau Terminale Technologique, axé sur les chapitres de la fonction inverse et de la fonction logarithme. D'une durée de deux heures, ce contrôle évalue la capacité des élèves à appliquer leurs connaissances à travers cinq exercices variés, allant de l'étude de fonction classique à la résolution de problèmes concrets et à l'analyse critique d'un raisonnement mathématique.

Exercice 1 : Une courbe sous l'axe des abscisses

Cet exercice constitue une introduction classique à l'étude de fonctions. On y analyse la fonction f définie sur l'intervalle \([\frac{1}{2}; 8]\) par l'expression \(f(x) = 4 - x - \frac{4}{x}\). Les questions s'enchaînent de manière progressive :

• Calcul de la dérivée : La première étape consiste à dériver la fonction f pour obtenir \(f'(x) = -1 + \frac{4}{x^2}\), puis à la mettre sous la forme demandée \(f'(x) = \frac{(2-x)(2+x)}{x^2}\). Cela teste la maîtrise des dérivées usuelles, notamment celle de la fonction inverse.
• Tableau de variations : À partir du signe de la dérivée, l'élève doit construire le tableau de variations complet de f. Il faut étudier le signe du polynôme du second degré \((2-x)(2+x)\) sur l'intervalle donné.
• Représentation graphique : L'exercice demande de compléter un tableau de valeurs pour placer des points clés et tracer l'allure de la courbe, liant ainsi l'analyse algébrique à l'interprétation géométrique.
• Démonstration d'inégalité : La dernière question est une application directe de l'étude de fonction. En utilisant le minimum de la fonction trouvé grâce au tableau de variations, on doit en déduire que pour tout x dans l'intervalle, on a \(x + \frac{4}{x} \ge 4\).

Exercice 2 : La sérigraphie d'une affiche (deux documents)

Ce second exercice est un problème de modélisation qui plonge l'élève dans un contexte professionnel. Il s'agit d'analyser le prix de revient d'une affiche en fonction du nombre n d'exemplaires imprimés. La fonction coût unitaire est donnée par \(u(n) = 3 + \frac{600}{n}\).

• Modélisation et calculs : Il faut d'abord justifier la formule du coût unitaire et l'appliquer pour des valeurs concrètes.
• Analyse de slogans publicitaires : L'élève doit valider ou invalider des arguments commerciaux en les traduisant mathématiquement. Cela implique de la manipulation algébrique de l'expression \(u(n)\) et l'étude des variations de la fonction u pour justifier que le prix unitaire diminue avec la quantité.
• Résolution de problème : La dernière question confronte l'élève à une contrainte budgétaire, nécessitant la résolution d'une inéquation pour déterminer le nombre maximal d'affiches réalisables.

Exercice 3 : La dérivée de la fonction inverse (copie d'un élève)

Cet exercice original et formateur demande une analyse critique du travail d'un autre élève. Il s'agit de repérer, d'expliquer et de corriger une erreur dans le calcul du nombre dérivé de la fonction inverse en utilisant la définition du taux de variation. L'erreur commise est une faute de signe classique lors de la mise au même dénominateur. Cet exercice évalue la compréhension profonde de la notion de dérivée et la rigueur du calcul littéral.

Exercice 4 : Encadrer une affiche au meilleur prix

Il s'agit d'un problème d'optimisation, présenté sous forme de question ouverte, valorisant la prise d'initiative et la structuration de la démarche. L'objectif est de minimiser le coût d'encadrement d'une affiche d'aire fixe (0,5 m²). Pour cela, il faut :

1. Exprimer les dimensions (hauteur h et largeur l) l'une en fonction de l'autre grâce à la contrainte sur l'aire : \(l = \frac{0.5}{h}\).
2. Modéliser le coût total du cadre en fonction d'une seule variable, par exemple h, ce qui donne une fonction du type \(C(h) = 60h + \frac{15}{h}\).
3. Étudier les variations de cette fonction coût (calcul de la dérivée, recherche de son point d'annulation, tableau de variations) pour déterminer la hauteur qui minimise le coût.
4. Conclure sur les dimensions optimales et évaluer la pertinence du conseil de l'encadreur (format carré).

Exercice 5 : La charge virale d'un patient (transversal : logarithme)

Le dernier exercice aborde une application concrète de la fonction logarithme décimal dans le domaine médical. La charge virale d'un patient est modélisée par une fonction exponentielle \(V(t) = 200 000 \times 0.6^t\), mais son suivi est effectué via son logarithme.

• Propriétés du logarithme : La première partie de l'exercice consiste à manipuler les propriétés algébriques du logarithme (log d'un produit, log d'une puissance) pour transformer l'expression \(\log(V(t))\).
• Résolution d'équation : Pour déterminer au bout de combien de temps la charge virale baisse d'une certaine valeur en 'log', il faut résoudre une équation de la forme \(t \times \log(0.6) = -2\).
• Résolution d'inéquation : La question finale demande de trouver à partir de quand la charge virale devient indétectable, c'est-à-dire inférieure à un certain seuil. Cela se traduit par la résolution de l'inéquation \(200 000 \times 0.6^t < 50\), qui nécessite l'utilisation du logarithme pour isoler l'inconnue t.