Ce document présente un sujet de contrôle de mathématiques complet pour le niveau Seconde, idéal pour s'entraîner et valider ses connaissances. D'une durée de 2 heures, cette évaluation couvre plusieurs chapitres clés du programme : les proportions et évolutions, la résolution d'inéquations, l'étude des fonctions affines, et l'analyse de fonctions générales et carrées. Ce corrigé détaillé vous permettra de comprendre les méthodes de résolution et de vous préparer efficacement pour vos examens. Retrouvez des exercices types sur les pourcentages, les tableaux de signes, et la lecture graphique de fonctions.
Exercice 1 : Proportions et Taux d'Évolution
Cet exercice est une application directe des formules liant valeur initiale, valeur finale, taux d'évolution et coefficient multiplicateur. Il s'agit de compléter un tableau en utilisant les relations fondamentales :
- Le coefficient multiplicateur (CM) se calcule à partir du taux d'évolution $t$ (en décimal) par la formule : $CM = 1 + t$. Un taux de $-20\%$ correspond à $t = -0,20$, donc $CM = 1 - 0,20 = 0,8$.
- La valeur d'arrivée ($V_f$) est obtenue en multipliant la valeur de départ ($V_d$) par le coefficient multiplicateur : $V_f = V_d \times CM$.
- Inversement, pour trouver la valeur de départ, on utilise : $V_d = V_f / CM$.
Chaque ligne du tableau demande de trouver une ou plusieurs de ces valeurs en fonction des données fournies, ce qui constitue un excellent entraînement au calcul de pourcentages d'augmentation et de réduction.
Exercice 2 : Problèmes Concrets sur les Pourcentages
Cet exercice met en application les notions de pourcentages dans des situations de la vie courante liées à un projet de rénovation de cuisine. Il est décomposé en plusieurs questions pour tester différentes compétences :
- Calcul de TVA : Appliquer un pourcentage d'augmentation (la TVA de 10%) pour passer d'un prix Hors Taxes (HT) à un prix Toutes Taxes Comprises (TTC). La formule est $P_{TTC} = P_{HT} \times (1 + 10/100)$.
- Calcul de pourcentages partiels : Déterminer des acomptes et des paiements intermédiaires en calculant des pourcentages d'une somme totale ou d'un montant restant.
- Évolutions successives : La question sur le four qui subit deux baisses de prix successives (-30% puis -10%) nécessite de calculer le coefficient multiplicateur global, produit des coefficients multiplicateurs individuels : $CM_{global} = CM_1 \times CM_2 = (1 - 0,30) \times (1 - 0,10) = 0,7 \times 0,9 = 0,63$. Le taux de réduction global est alors de $1 - 0,63 = 0,37$, soit 37%.
- Taux d'évolution réciproque : Pour le micro-ondes, on connaît le prix soldé (63€) après une réduction de 40%. Pour retrouver le prix initial, il faut effectuer l'opération inverse : diviser le prix final par le coefficient multiplicateur. $CM = 1 - 0,40 = 0,6$. Le prix initial est donc $63 / 0,6 = 105€$.
Exercice 3 : Résolution d'Inéquations et Fonctions Affines
Cette partie du contrôle est axée sur la maîtrise de l'algèbre et des fonctions affines.
La première question consiste à résoudre des inéquations du premier degré dans $\mathbb{R}$. La méthode implique de développer, regrouper les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre, puis d'isoler $x$. Une attention particulière doit être portée au sens de l'inégalité, qui change si l'on multiplie ou divise par un nombre négatif.
La deuxième question demande de dresser le tableau de signes de plusieurs fonctions affines de la forme $f(x) = ax+b$. Pour cela, il faut :
- Trouver la racine de la fonction en résolvant l'équation $ax+b=0$, ce qui donne $x = -b/a$.
- Placer cette racine dans le tableau de signes.
- Déterminer le signe de la fonction avant et après la racine, en se basant sur le signe du coefficient directeur $a$. Si $a > 0$, la fonction est d'abord négative puis positive. Si $a < 0$, c'est l'inverse.
Exercice 4 : Lecture Graphique et Résolution d'Équations
Cet exercice évalue la capacité à interpréter la courbe représentative d'une fonction $f$. Toutes les réponses doivent être trouvées par lecture graphique. Il est demandé de résoudre :
- Des équations du type $f(x)=k$ : Cela revient à trouver les abscisses des points d'intersection entre la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite horizontale d'équation $y=k$.
- Des inéquations du type $f(x) < k$ ou $f(x) \ge k$ : Il faut identifier les intervalles sur l'axe des abscisses pour lesquels la courbe $\mathcal{C}_f$ se situe en dessous (ou au-dessus) de la droite d'équation $y=k$.
C'est un exercice fondamental pour lier la représentation visuelle d'une fonction à ses propriétés algébriques.
Exercice 5 : Étude d'une Fonction Paire
Le dernier exercice se concentre sur une fonction $f(x) = 6,3x^2 – 2,5x \times 2x$, qui se simplifie en $f(x) = 1,3x^2$. Il aborde plusieurs aspects de l'étude de fonctions :
- Calcul d'images : La première étape consiste à calculer des valeurs précises, comme $f(-115)$ et $f(115)$, pour observer une propriété de la fonction.
- Démonstration de la parité : Il faut montrer que la fonction est paire en prouvant que pour tout $x$ dans son ensemble de définition, on a $f(-x) = f(x)$. Ici, $f(-x) = 1,3(-x)^2 = 1,3x^2 = f(x)$, ce qui confirme la parité et la symétrie de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées.
- Lecture d'antécédents : Comme dans l'exercice 4, il s'agit de résoudre graphiquement des équations du type $f(x)=k$ pour trouver les antécédents de différentes valeurs (0, 5.2, 2.5).
Ce sujet de mathématiques pour la Seconde offre une révision complète et diversifiée, alliant calculs de pourcentages, manipulation d'inéquations, et analyse de fonctions sous leurs formes algébriques et graphiques.