Découvrez notre sujet de contrôle de mathématiques pour la Terminale Spécialité, axé sur les chapitres fondamentaux des suites numériques et du raisonnement par récurrence. Ce document, proposé par Galilee.ac, est une évaluation complète d'une durée d'1h30, idéale pour s'entraîner et valider ses acquis. Chaque exercice est conçu pour tester des compétences spécifiques, allant des définitions de base à des démonstrations plus complexes. Ce contrôle corrigé est un outil précieux pour la préparation au baccalauréat.
Exercice 1 : Maîtrise des suites arithmétiques et géométriques
Cet exercice d'introduction vérifie les connaissances fondamentales sur les suites les plus courantes.
- La première question porte sur une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q = \frac{1}{3}$ avec $u_3 = 729$. Il est demandé de calculer $u_7$. La résolution repose sur l'application directe de la formule du terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$.
- La seconde question concerne une suite arithmétique $(v_n)$ de raison $r=5$ et de terme $v_{10}=8$. L'objectif est de retrouver la valeur du terme $v_1$, en utilisant la relation $v_n = v_p + (n-p)r$.
Exercice 2 : Étude des variations d'une suite
Cet exercice se concentre sur une compétence d'analyse : l'étude du sens de variation d'une suite. La suite $(w_n)$ est définie explicitement par $w_n = 2n^2 - 7n$. Pour déterminer si la suite est croissante ou décroissante, il faut étudier le signe de la différence $w_{n+1} - w_n$. Cela revient à analyser le signe d'un polynôme du premier degré en $n$.
Exercice 3 : Suites récurrentes simples
Ici, nous abordons les suites définies par une relation de récurrence. La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = -4$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 6$.
- La première étape consiste à calculer les premiers termes de la suite, $u_1$ et $u_2$, pour se familiariser avec son comportement.
- La seconde question demande de justifier si la suite est arithmétique ou géométrique. En calculant $u_1-u_0$ et $u_2-u_1$ (ainsi que les quotients), on démontre qu'elle n'est ni l'un ni l'autre. Il s'agit en réalité d'une suite arithmético-géométrique, un concept clé en Terminale.
Exercice 4 : Modélisation et démonstration par récurrence
Cet exercice est un problème complet de modélisation qui met en œuvre le raisonnement par récurrence. Il s'agit de suivre l'évolution du nombre de bénévoles dans une association.
- Mise en équation : Il faut traduire l'énoncé en langage mathématique pour établir que le nombre de bénévoles $u_n$ suit la relation de récurrence $u_{n+1} = 0,8 u_n + 12$, avec $u_0 = 80$.
- Raisonnement par récurrence : Le cœur de l'exercice est de démontrer par récurrence que pour tout entier $n$, la suite est décroissante et minorée : $60 \le u_{n+1} \le u_n$. Cette double inégalité demande une rédaction rigoureuse de l'initialisation et de l'hérédité.
- Suite auxiliaire : Pour analyser la suite arithmético-géométrique $(u_n)$, on introduit une suite auxiliaire $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - 60$. Il est demandé de prouver que $(v_n)$ est une suite géométrique, en calculant le rapport $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ et en montrant qu'il est constant.
Exercice 5 : Récurrence avec une fonction irrationnelle
Le dernier exercice est un autre défi sur le raisonnement par récurrence, cette fois avec une suite définie par $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 4}$ et $u_0 = 12$. L'objectif est de démontrer une inégalité plus complexe : $3 \le u_{n+1} \le u_n \le 12$. La preuve de l'hérédité nécessite d'étudier les propriétés de la fonction $f(x) = \sqrt{x+4}$, notamment son sens de variation sur l'intervalle pertinent, pour justifier le passage d'une inégalité sur $u_n$ à une inégalité sur $u_{n+1}$.