Découvrez un sujet complet de contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale spécialité, axé sur les chapitres fondamentaux des suites numériques et du raisonnement par récurrence. Ce sujet de 2 heures, sans calculatrice, est un excellent entraînement pour maîtriser les concepts clés avant le baccalauréat. Vous y trouverez des exercices variés, allant de l'étude de suites classiques à l'analyse d'algorithmes, en passant par des démonstrations par récurrence de différents niveaux de complexité. Ce document est idéal pour les élèves souhaitant réviser et s'évaluer sur leurs connaissances des limites, des suites géométriques et des techniques de démonstration.

Exercice 1 : Étude d'une suite de type arithmético-géométrique (7 points)

Cet exercice porte sur une suite \( (u_n) \) définie sur \( \mathbb{N} \) par \( u_0 = 1 \) et la relation de récurrence \( u_{n+1} = \frac{3}{4} u_n + \frac{1}{4} n + 1 \). Il s'agit d'une suite non-standard qui combine des aspects des suites arithmétiques et géométriques. L'objectif est de mener une étude complète de son comportement.

• Question 1 : Calcul des premiers termes \( u_1 \) et \( u_2 \) pour se familiariser avec la suite.
• Question 2 : Utilisation d'un tableur pour visualiser la suite. Il est demandé de trouver la formule à insérer dans une cellule et de conjecturer le sens de variation de \( (u_n) \) à partir des valeurs affichées.
• Question 3 : Le cœur de l'analyse, où le raisonnement par récurrence est central.
  • a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \( n \), la suite est encadrée par \( n \le u_n \le n+1 \).
  • b. Déduire de cet encadrement le sens de variation et la limite de la suite, en utilisant notamment le théorème des gendarmes pour la limite de \( \frac{u_n}{n} \).
  • c. Prouver formellement que \( \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{n} = 1 \).
• Question 4 : Introduction d'une suite auxiliaire \( (v_n) \) définie par \( v_n = u_n - n \). Cette technique classique permet de simplifier l'étude.
  • a. Démontrer que \( (v_n) \) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
  • b. En déduire l'expression explicite de \( u_n \) en fonction de \( n \).
  • c. Retrouver la limite de \( (u_n) \) à partir de sa forme explicite et confirmer les résultats précédents.

Exercice 2 : Étude de suites couplées et convergence vers \( \sqrt{2} \) (7 points)

L'exercice 2 propose l'étude de deux suites \( (u_n) \) et \( (v_n) \) définies par une récurrence couplée : \( u_0 = v_0 = 1 \), \( u_{n+1} = u_n + v_n \) et \( v_{n+1} = 2u_n + v_n \). On admet que ces suites sont strictement positives.

• Question 1 : Étude individuelle des suites.
  • a. Calcul des termes \( u_1 \) et \( v_1 \).
  • b. Démonstration de la croissance stricte de \( (v_n) \) et minoration par 1.
  • c. Démonstration par récurrence de l'inégalité \( u_n \ge n + 1 \).
  • d. Déduction de la limite de \( (u_n) \) par le théorème de comparaison.
• Question 2 : Étude de la convergence du quotient \( r_n = \frac{v_n}{u_n} \).
  • a. et b. Utilisation du théorème des gendarmes pour démontrer que \( \lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{u_n^2} = 0 \), à partir d'une relation admise sur \( r_n^2 \).
  • c. En déduire que la suite \( (r_n) \) converge vers \( \sqrt{2} \), un résultat classique lié à l'approximation de ce nombre irrationnel.
  • d. Établir une relation de récurrence pour la suite \( (r_n) \), montrant que \( r_{n+1} = \frac{2+r_n}{1+r_n} \).
  • e. Interpréter un programme Python qui utilise cette relation pour trouver le nombre d'itérations nécessaires pour que \( r_n \) soit une approximation de \( \sqrt{2} \) à \( 10^{-4} \) près. Il s'agit ici d'évaluer la compréhension d'un algorithme de seuil.

Exercice 3 : Conjecture et validation par récurrence (4 points)

Cet exercice est un cas d'étude typique où il faut d'abord explorer une suite pour en deviner la nature, puis la prouver. La suite \( (s_n) \) est définie par \( s_0 = 0 \) et \( s_{n+1} = s_n + \frac{1}{4(n+1)^2 - 1} \).

• Question 1 : Calculer les cinq premiers termes \( s_1, s_2, s_3, s_4, s_5 \) sous forme de fractions irréductibles.
• Question 2 : À partir des valeurs calculées, émettre une conjecture sur l'expression de \( s_n \) en fonction de \( n \). Cela demande un sens de l'observation et la reconnaissance de motifs.
• Question 3 : Démontrer la conjecture émise à la question précédente en utilisant un raisonnement par récurrence rigoureux.

Exercice 4 : Un grand classique de la récurrence (2 points)

Cet dernier exercice, plus court, vise à vérifier la maîtrise d'une démonstration par récurrence sur une propriété fondamentale des sommes d'entiers.

• Il est demandé de démontrer que, pour tout entier naturel non nul \( n \), l'égalité suivante est vraie :\[ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \dots + n)^2 \]C'est une excellente occasion de manipuler des sommes, de faire appel à la formule de la somme des \( n \) premiers entiers et de structurer parfaitement une preuve par récurrence.