Analyse du sujet de mathématiques : Statistiques à deux variables

Ce contrôle de mathématiques, destiné aux élèves de Première technologique, porte sur le chapitre des statistiques à deux variables. Il évalue la capacité des élèves à analyser des données bivariées, à calculer des indicateurs clés comme le point moyen, et à utiliser un modèle d'ajustement affine pour faire des prédictions. Ce sujet, faisable sans calculatrice, met l'accent sur la compréhension des concepts et la manipulation des équations de droites.

Exercice 1 : Point moyen et droites (réponses courtes)

Cet exercice est une série de questions rapides visant à vérifier la maîtrise des définitions et des calculs de base.

• Question 1 : Il s'agit de calculer les coordonnées du point moyen \(G(\bar{x}, \bar{y})\) d'un nuage de points. Cela implique de calculer la moyenne des abscisses \(x_i\) et la moyenne des ordonnées \(y_i\). Pour la série donnée, \( \bar{x} = \frac{2+4+6+8}{4} = 5 \) et \( \bar{y} = \frac{10+14+15+21}{4} = 15 \).
• Question 2 : Cette question teste l'utilisation d'une droite d'ajustement pour la prédiction. Avec l'équation \( y = 3x + 4 \), on demande de trouver la valeur de \(y\) pour \(x=12\), ce qui revient à un simple calcul d'image.
• Question 3 : On doit vérifier si un point appartient à une droite. Il faut substituer les coordonnées du point moyen \(G(5; 20)\) dans l'équation \(y = -2x + 30\) pour voir si l'égalité est vérifiée.
• Question 4 : Une application inverse de la formule de la moyenne. Connaissant la moyenne des abscisses (7) et trois des quatre valeurs (5, 6, 9), il faut retrouver la valeur manquante \(a\) en résolvant une équation du premier degré.
• Question 5 : Il s'agit de déterminer l'équation réduite d'une droite connaissant son coefficient directeur (3) et un point de passage, le point moyen \(G(10; 50)\).

Exercice 2 : L'âge et la tension artérielle

Cet exercice se base sur un cas concret et demande une analyse plus complète, incluant la représentation graphique.

• Question 1 : La première étape consiste à représenter graphiquement le nuage de points \((x_i; y_i)\) dans un repère fourni, à partir des données d'un tableau liant l'âge et la tension.
• Question 2 : On demande le calcul des coordonnées du point moyen \(G\) de la série, qui représente le centre de gravité du nuage de points, puis de le placer sur le graphique.
• Question 3 : Le candidat doit vérifier qu'une droite d'ajustement \( \mathcal{D} \) d'équation \( y = 0,7x + 97,5 \) passe bien par le point moyen \(G\), une propriété fondamentale. Il faut ensuite tracer cette droite.
• Question 4 : Utilisation du modèle pour une estimation. On demande de calculer la tension artérielle estimée pour un adulte de 50 ans via l'équation de la droite \( \mathcal{D} \).
• Question 5 : On inverse la problématique : pour une tension de 125,5 mmHg, quel âge le modèle prédit-il ? Cela revient à résoudre l'équation \( 125,5 = 0,7x + 97,5 \).
• Question 6 : Cette question d'interprétation demande d'expliquer pourquoi le modèle statistique fournit une tendance générale et non une valeur exacte pour chaque individu, justifiant ainsi les écarts entre prédiction et réalité.

Exercice 3 : Les passages à l'infirmerie

Ce dernier exercice se concentre sur le choix du 'meilleur' ajustement affine en comparant deux droites candidates, introduisant le critère des moindres carrés.

• Question 1 : Après avoir calculé le point moyen \(G\) de la série, il faut vérifier que les deux droites proposées, \( \mathcal{D}_1 : y = 3x + 17 \) et \( \mathcal{D}_2 : y = x + 23 \), passent bien par ce point.
• Question 2 : L'élève doit vérifier les écarts (résidus) entre les valeurs observées et les valeurs prédites par la droite \( \mathcal{D}_2 \). Il doit ensuite expliquer pourquoi une somme de résidus nulle n'est pas un critère de choix suffisant, les écarts positifs et négatifs pouvant se compenser.
• Question 3 : Le critère des moindres carrés est introduit. L'objectif est de calculer, pour chaque droite, la somme des carrés des écarts : \( S = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2 \). La droite présentant la plus petite somme est considérée comme le meilleur modèle.
• Question 4 : Une fois la meilleure droite identifiée, on l'utilise pour une dernière prédiction : estimer le nombre de passages à l'infirmerie pour la sixième semaine.