Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la Première technologique porte sur le chapitre des statistiques à deux variables. D'une durée de 1h30, il évalue la capacité des élèves à analyser des données bivariées, à représenter graphiquement des nuages de points et à déterminer des droites d'ajustement par différentes méthodes. Ce document propose un corrigé détaillé, exercice par exercice, pour une préparation optimale. Les mots-clés de ce sujet sont : contrôle corrigé, sujet de maths, Première technologique, statistiques à deux variables, ajustement affine, droite de Mayer, point moyen.

Exercice 1 : Un ajustement au jugé

Cet exercice introductif se base sur un nuage de points déjà représenté graphiquement. Il vise à évaluer les compétences fondamentales de l'analyse graphique et de l'ajustement linéaire simple.

• Question 1 : Il s'agit de calculer les coordonnées du point moyen G(\(\bar{x}\), \(\bar{y}\)) du nuage. Pour cela, il faut d'abord lire les coordonnées \((x_i, y_i)\) de chaque point sur le graphique, puis calculer la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées : \(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}\) et \(\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n}\). Le point G doit ensuite être placé sur le repère.
• Question 2 : Cette question demande de réaliser un ajustement au jugé. L'élève doit tracer une droite qui semble représenter au mieux la tendance du nuage de points, avec la contrainte qu'elle doit passer par le point moyen G et un autre point du nuage. Une fois la droite tracée, il faut déterminer son équation réduite de la forme \(y = ax + b\). Le coefficient directeur \(a\) est calculé à partir des coordonnées de deux points de la droite, et l'ordonnée à l'origine \(b\) est ensuite déduite.
• Question 3 : En utilisant l'équation de la droite d'ajustement trouvée, il faut estimer la valeur de y pour \(x=8\). C'est une application directe du modèle linéaire pour faire une prédiction (ici, une interpolation ou une légère extrapolation selon les points).

Exercice 2 : Le service client d'un opérateur mobile

Cet exercice plus complet met en œuvre la méthode de l'ajustement par la droite de Mayer à partir de données présentées dans un tableau. Il est divisé en trois parties pour guider l'élève pas à pas.

• Partie A - Le nuage de points : La première étape consiste à représenter graphiquement les données \((x_i, y_i)\) du tableau pour visualiser le nuage de points. Ensuite, comme dans l'exercice 1, il faut calculer les coordonnées du point moyen global G.
• Partie B - La droite de Mayer : Cette partie détaille la construction de la droite de Mayer.
  • On divise le nuage de points en deux groupes de taille égale en fonction des abscisses croissantes.
  • On calcule les coordonnées du point moyen \(G_1\) du premier groupe et du point moyen \(G_2\) du second groupe.
  • On détermine l'équation de la droite \((G_1G_2)\), qui est la droite de Mayer.
  • Enfin, on vérifie une propriété importante : le point moyen global G appartient bien à cette droite. La droite est ensuite tracée dans le repère.
• Partie C - Un objectif de satisfaction : Il s'agit d'utiliser le modèle de Mayer pour un objectif concret. Pour un pourcentage de satisfaction donné (y=63%), on doit trouver le délai de réponse maximal (x) correspondant en résolvant une équation du premier degré.

Exercice 3 : Les réservations d'une exposition de design

Cet exercice porte sur l'interprétation et l'utilisation d'un modèle d'ajustement linéaire déjà fourni (\(y = 6x + 46\)). L'accent est mis sur la validité et les limites du modèle.

• Question 1 : On vérifie que le point moyen du nuage de points de départ appartient bien à la droite d'ajustement T donnée, validant ainsi le modèle.
• Question 2 et 3 : Ces questions portent sur l'utilisation du modèle pour la prédiction. On calcule le taux de réservation attendu pour des durées de campagne de 6 et 10 semaines. Cela permet de distinguer l'interpolation (prédiction à l'intérieur de l'intervalle des données initiales) de l'extrapolation (prédiction à l'extérieur). Le cas de la campagne de 10 semaines donne un résultat supérieur à 100%, ce qui est impossible en pratique et met en évidence les limites de l'extrapolation.
• Question 4 : On recherche pour quelles durées de campagne le modèle prédit un taux de réservation réaliste, c'est-à-dire compris entre 0% et 100%. Cela revient à résoudre l'inéquation double \(0 \le 6x + 46 \le 100\).

Exercice 4 : Ce que permet un ajustement (vrai ou faux)

Ce dernier exercice est un QCM qui évalue la compréhension théorique des concepts liés à l'ajustement affine.

• Affirmation 1 : Teste la différence entre interpolation et extrapolation.
• Affirmation 2 : Porte sur l'interprétation du coefficient directeur d'une droite d'ajustement : une augmentation de \(\Delta x\) sur les abscisses entraîne une augmentation de \(a \times \Delta x\) sur les ordonnées estimées.
• Affirmation 3 : Interroge sur les propriétés d'une droite d'ajustement, notamment si elle doit obligatoirement passer par des points du nuage (hormis G).
• Affirmation 4 : Vérifie la connaissance d'une propriété clé de la droite de Mayer : lorsque les deux sous-groupes ont la même taille, la droite passe nécessairement par le point moyen global G.