Contrôle Corrigé de Mathématiques : Première STI2D (Sujet 1)

Ce document propose une analyse détaillée et le corrigé d'un devoir commun de mathématiques de niveau Première STI2D. Le sujet balaye plusieurs chapitres clés du programme : les automatismes, les polynômes du second degré, les suites arithmétiques et géométriques, ainsi que la dérivation globale des fonctions. Ce corrigé est idéal pour les élèves souhaitant s'entraîner, comprendre leurs erreurs et préparer efficacement leurs futures évaluations.

Mots clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Première STI2D, polynômes du second degré, suites numériques, dérivation, fonctions, exercice corrigé, automatismes.

Partie A : Automatismes (QCM)

Cette première partie est un questionnaire à choix multiples (QCM) de 6 questions visant à évaluer la maîtrise des savoir-faire de base. Aucune justification n'est demandée, mais une bonne compréhension des concepts est essentielle.

• Question 1 : Taux d'évolution. On calcule le taux d'évolution d'un abonnement passant de 25 € à 30 €. La formule est \( t = \frac{V_f - V_i}{V_i} \). Le calcul donne \( \frac{30 - 25}{25} = \frac{5}{25} = 0,2 \), soit une augmentation de 20%.
• Question 2 : Évolutions successives. Il s'agit de comprendre l'impact d'une baisse de 30% suivie d'une hausse de 30%. Les coefficients multiplicateurs sont \(C_1 = 1 - 0,30 = 0,7\) et \(C_2 = 1 + 0,30 = 1,3\). Le coefficient global est \(C = C_1 \times C_2 = 0,7 \times 1,3 = 0,91\).
• Question 3 : Équation du premier degré. Résolution de l'équation simple \(3x - 7 = 5x + 4\). En isolant \(x\), on trouve \( -11 = 2x \), donc \( x = -5,5 \).
• Question 4 : Puissances. Calcul de \((2 \times 10^{-3})^2\). En utilisant les propriétés des puissances, on obtient \(2^2 \times (10^{-3})^2 = 4 \times 10^{-6}\).
• Question 5 : Dérivée d'un polynôme. La dérivée de la fonction \(f(x) = x^2 - 6x\) est demandée. En appliquant les formules de dérivation, on a \(f'(x) = 2x - 6\).
• Question 6 : Suite arithmétique. Pour une suite arithmétique de premier terme \(u_0 = 12\) et de raison \(r = -3\), on cherche \(u_{10}\). La formule du terme général est \(u_n = u_0 + n \times r\). Donc, \(u_{10} = 12 + 10 \times (-3) = 12 - 30 = -18\).

Partie B - Exercice 1 : Puissance d'un panneau solaire

Cet exercice se concentre sur l'étude d'une fonction polynôme du second degré modélisant la puissance d'un panneau solaire en fonction de la tension \(U\). La fonction est \(P(U) = -0,5U^2 + 18U\) sur l'intervalle \([0; 36]\).

• Question 1 : Il fallait calculer des images : \(P(10) = -0,5(10)^2 + 18(10) = -50 + 180 = 130\) W et \(P(30) = -0,5(30)^2 + 18(30) = -450 + 540 = 90\) W.
• Question 2 : La résolution de l'équation \(P(U) = 0\) (\( -0,5U^2 + 18U = 0 \)) se fait par factorisation : \(U(-0,5U + 18) = 0\). Les solutions sont \(U=0\) et \(U=36\). Elles correspondent aux tensions pour lesquelles le panneau ne produit aucune puissance.
• Question 3 : Pour trouver la puissance maximale, on cherche le sommet de la parabole. L'abscisse du sommet est \( \alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{18}{2 \times (-0,5)} = 18 \) V. La puissance maximale est alors \(P(18) = -0,5(18)^2 + 18(18) = 162\) W.
• Question 4 : Le tableau de variations de \(P\) sur \([0; 36]\) montre que la fonction est croissante sur \([0; 18]\) et décroissante sur \([18; 36]\), avec un maximum de 162 atteint en \(U=18\).
• Question 5 : Il s'agissait de résoudre l'inéquation \(P(U) \ge 112\). L'énoncé guide en donnant la forme factorisée \(P(U) - 112 = -0,5(U - 8)(U - 28)\). Un tableau de signe permet de conclure que la puissance est d'au moins 112 W pour une tension \(U\) dans l'intervalle \([8; 28]\).

Partie B - Exercice 2 : Consommation d'un centre de données

Cet exercice aborde les suites numériques à travers deux scénarios d'évolution de la consommation électrique d'un data center.

• Scénario 1 (hausse) : La consommation initiale est \(u_0 = 800\) MWh et augmente de 6% par an. Il s'agit d'une suite géométrique de raison \(q = 1 + 0,06 = 1,06\). La relation de récurrence est \(u_{n+1} = 1,06 \times u_n\) et la forme explicite est \(u_n = 800 \times (1,06)^n\). On cherche ensuite l'année où la consommation dépasse 1000 MWh en résolvant \(u_n > 1000\).
• Scénario 2 (baisse) : Un plan de sobriété prévoit une réduction de 30 MWh par an. C'est une suite arithmétique de premier terme \(v_0 = 800\) et de raison \(r = -30\). On peut alors calculer n'importe quel terme, comme \(v_5\), et comparer l'économie réalisée par rapport au premier scénario.

Partie B - Exercice 3 : Le profil en long d'une route de montagne

Le dernier exercice porte sur l'étude complète d'une fonction polynôme du troisième degré, \(f(x) = -x^3 + 9x^2 - 24x + 40\), qui modélise le profil en long d'un tronçon de route de montagne : \(f(x)\) est l'altitude en mètres et \(x\) la distance parcourue depuis le départ, exprimée en centaines de mètres, avec \(x \in [0\,;\,6]\).

• Question 1 : Calcul des altitudes aux extrémités du tronçon : \(f(0) = 40\) m au départ et \(f(6) = -216 + 324 - 144 + 40 = 4\) m à l'arrivée. La dénivelée totale est donc une descente de \(40 - 4 = 36\) m.
• Question 2 : Le calcul de la dérivée est une étape clé : \(f'(x) = -3x^2 + 18x - 24\). On vérifie ensuite la forme factorisée donnée par l'énoncé : \(-3(x-2)(x-4) = -3(x^2 - 6x + 8) = -3x^2 + 18x - 24\).
• Question 3 : L'étude du signe de \(f'(x)\) à l'aide d'un tableau de signes (le facteur \(-3\) est négatif, les racines sont 2 et 4) permet de dresser le tableau de variations : \(f\) est décroissante sur \([0\,;\,2]\), croissante sur \([2\,;\,4]\), puis de nouveau décroissante sur \([4\,;\,6]\), avec \(f(2) = 20\) et \(f(4) = 24\).
• Question 4 : Il faut distinguer les extremums locaux des extremums du tronçon entier. Le creux est le minimum local atteint en \(x = 2\), soit à 200 m du départ, à l'altitude 20 m ; la bosse est le maximum local atteint en \(x = 4\), soit à 400 m du départ, à l'altitude 24 m. En revanche, le point le plus haut de tout le tronçon est le départ (40 m) et le point le plus bas est l'arrivée (4 m).
• Question 5 : La dernière question demande l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse 1. On utilise \(y = f'(1)(x - 1) + f(1)\), avec \(f(1) = 24\) et \(f'(1) = -3 \times (-1) \times (-3) = -9\), d'où \(y = -9(x-1) + 24\), soit \(y = -9x + 33\). L'interprétation est concrète : comme \(x\) est en centaines de mètres et l'altitude en mètres, le coefficient directeur \(-9\) signifie une perte de 9 m d'altitude pour 100 m parcourus, c'est-à-dire exactement la pente de la route : 9 % en descente.