Découvrez ce sujet de contrôle de mathématiques de niveau Première STI2D, entièrement dédié au chapitre sur le produit scalaire et aux automatismes. Ce document est une ressource pédagogique idéale pour les élèves souhaitant s'entraîner et valider leurs acquis, ainsi que pour les enseignants à la recherche de supports d'évaluation. Le sujet, d'une durée d'une heure et sans calculatrice, balaye l'ensemble des compétences clés du chapitre à travers quatre exercices progressifs.

Ce contrôle corrigé permet de travailler les différentes formules du produit scalaire, ses propriétés géométriques comme l'orthogonalité, et ses applications dans des problèmes concrets impliquant des triangles, des rectangles et des parallélogrammes.

Exercice 1 : Automatismes (QCM)

Ce premier exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) conçu pour évaluer la maîtrise des définitions et des formules de base du produit scalaire. Il est essentiel pour vérifier rapidement les connaissances fondamentales sans justification requise. Les questions portent sur :

• Le calcul du produit scalaire de deux vecteurs à partir de leurs coordonnées. Par exemple, pour \(\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\), on calcule \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_{\vec{u}}x_{\vec{v}} + y_{\vec{u}}y_{\vec{v}}\).
• Le calcul de la norme d'un vecteur, comme \(\||\vec{w}\||\) pour \(\vec{w} \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}\), en utilisant la formule \(\||\vec{w}\|| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
• L'interprétation géométrique d'un produit scalaire nul (\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)), qui signifie que les vecteurs sont orthogonaux.
• L'application de la formule trigonométrique du produit scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|| \cdot \|\vec{v}\|| \cdot \cos(\theta)\), avec des valeurs de normes et d'angle données (\(\||\vec{u}\|| = 2\), \(\||\vec{v}\|| = 3\), et un angle de 60°).
• La reconnaissance du carré scalaire, où \(\vec{u} \cdot \vec{u}\) est égal à \(\||\vec{u}\||^2\).

Exercice 2 : Calculs en repère orthonormé

Cet exercice ancre les notions du produit scalaire dans un contexte de géométrie analytique. À partir des coordonnées de trois points A, B et C, l'élève doit mettre en œuvre plusieurs compétences :

• Déterminer les coordonnées de vecteurs dans un repère, comme \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
• Calculer le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) en utilisant les coordonnées des vecteurs.
• Calculer les longueurs exactes des segments [AB] et [AC], ce qui revient à calculer la norme des vecteurs correspondants.
• Utiliser le résultat du produit scalaire pour déterminer la nature d'un triangle. Ici, il s'agit de vérifier si le triangle ABC est rectangle en A en testant si \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0\).
• Démontrer que deux droites, (AB) et (AD), sont perpendiculaires en montrant que le produit scalaire des vecteurs directeurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\) est nul.

Exercice 3 : Un triangle aux mesures exactes

L'exercice 3 se concentre sur les applications du produit scalaire dans un triangle quelconque, en s'appuyant sur des relations métriques fondamentales. Les données sont les longueurs de deux côtés et la mesure de l'angle qu'ils forment.

• Le calcul du produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) est demandé en utilisant la formule avec le cosinus.
• L'exercice guide l'élève dans l'utilisation du théorème d'Al-Kashi (ou loi des cosinus) pour d'abord calculer la longueur du troisième côté (BC), puis pour déterminer le cosinus d'un autre angle du triangle (\(\cos(\widehat{ABC})\)).
• Une question invite à interpréter le signe du cosinus pour déterminer si un angle est aigu ou obtus, une compétence d'analyse importante.
• Enfin, l'exercice introduit un parallélogramme et demande d'utiliser une propriété métrique (l'identité du parallélogramme : \(AD^2 + BC^2 = 2(AB^2 + AC^2)\)) pour calculer la longueur d'une diagonale.

Exercice 4 : Dans un rectangle

Ce dernier exercice propose une étude complète au sein d'une figure géométrique simple, le rectangle, permettant de croiser différentes approches du produit scalaire.

• La première question est un rappel de cours : le produit scalaire de deux vecteurs portés par des côtés adjacents d'un rectangle (\(\vec{AB} \cdot \vec{AD}\)) est nul en raison de l'angle droit.
• L'exercice impose ensuite de se placer dans un repère orthonormé bien choisi, lié aux côtés du rectangle, pour calculer les coordonnées des vecteurs diagonaux \(\vec{AC}\) et \(\vec{BD}\).
• Il est demandé de calculer un produit scalaire (\(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\)) de deux manières : d'abord par les coordonnées, puis en utilisant la notion de projection orthogonale.
• Le calcul de la norme d'un vecteur et du cosinus d'un angle (\(\cos(\widehat{BAC})\)) est à nouveau abordé, renforçant la maîtrise des formules.
• La question finale s'intéresse à l'orthogonalité des diagonales du rectangle en calculant leur produit scalaire \(\vec{AC} \cdot \vec{BD}\).