Contrôle de Mathématiques Corrigé : Dérivation en Première STI2D

Ce sujet de contrôle pour les élèves de Première STI2D porte sur les chapitres de la dérivation locale et globale. Il s'agit d'une étude de fonction complète appliquée à une situation concrète : le vol d'un drone de surveillance. Ce type de problème est classique et permet de mobiliser toutes les compétences essentielles liées à l'analyse de fonction, de la simple dérivation à l'interprétation des résultats. Ce contrôle, qui porte sur le tronc commun de mathématiques, convient à toutes les séries technologiques : STI2D, STL, STMG, ST2S, STHR, STD2A et S2TMD.

L'exercice est décomposé en trois parties distinctes pour guider l'élève pas à pas : l'étude des variations, l'interprétation de la dérivée comme vitesse et l'équation de la tangente, et enfin l'exploitation du modèle mathématique pour répondre à des questions contextuelles.

Partie A : Les variations du vol

La première partie de ce contrôle de maths se concentre sur l'étude de la fonction altitude \(h(t) = -2t^3 + 15t^2 - 24t + 49\) définie sur l'intervalle \([0; 6]\), qui modélise un vol de 6 minutes. Les questions visent à construire et analyser le tableau de variation de la fonction.

• Question 1 : Calcul de l'altitude initiale en calculant l'image \(h(0)\).
• Question 2 : Calcul de la fonction dérivée \(h'(t)\). Il s'agit ici d'appliquer les formules de dérivation d'une fonction polynôme.
• Question 3 : Vérification de la forme factorisée de la dérivée, \(h'(t) = -6(t - 1)(t - 4)\), une étape cruciale pour faciliter l'étude de signe.
• Question 4 : Étude du signe de la dérivée \(h'(t)\) sur l'intervalle \([0; 6]\). Cela revient à étudier le signe d'un trinôme du second degré.
• Question 5 : Dressage du tableau de variation de \(h\), qui synthétise le signe de \(h'(t)\) et les variations de \(h\), en n'oubliant pas de calculer les valeurs aux bornes et les extremums.
• Question 6 : Utilisation du tableau de variation pour déterminer l'altitude maximale atteinte par le drone et l'instant correspondant (65 mètres à \(t=4\)). C'est une application directe de la recherche d'extremum.

Partie B : Vitesse de montée et tangentes

Cette deuxième partie fait le lien fondamental entre le concept mathématique de nombre dérivé et son interprétation physique en tant que vitesse instantanée. Elle aborde également la notion de tangente à une courbe.

• Questions 1 et 2 : Calcul du nombre dérivé en des points spécifiques (\(t=2\) et \(t=5\)) et interprétation concrète de ces valeurs (\(h'(2) = 12\) et \(h'(5) = -24\)) comme la vitesse verticale du drone à ces instants.
• Question 3 : Détermination de l'équation réduite de la tangente \(T\) à la courbe de \(h\) au point d'abscisse 2, ici \(y = 12t + 21\). C'est l'application de la formule classique : \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).
• Question 4 : Analyse des instants où la vitesse verticale est nulle, c'est-à-dire quand \(h'(t) = 0\). Cela correspond aux sommets de la trajectoire où le drone change de sens de variation (tangente horizontale).
• Question 5 : Calcul du taux de variation de \(h\) entre \(t=1\) et \(t=4\), égal à 9, qui représente la vitesse moyenne sur cet intervalle. La question invite à comparer cette vitesse moyenne à la vitesse instantanée, soulignant une distinction essentielle du chapitre sur la dérivation.

Partie C : Exploitation du modèle

La dernière partie vise à s'assurer que le modèle mathématique est bien compris et peut être utilisé pour répondre à des questions pratiques. Elle teste également les capacités de représentation graphique et de raisonnement.

• Question 1 : Complétion d'un tableau de valeurs pour la fonction \(h(t)\), une compétence de base pour préparer le tracé d'une courbe.
• Question 2 : Représentation graphique de la fonction à partir des points calculés, permettant de visualiser l'allure de la trajectoire du drone.
• Question 3 : Confrontation du modèle aux contraintes réelles. Il faut utiliser le tableau de variations (notamment la valeur minimale, 13 mètres, atteinte en fin de vol) pour vérifier si une règle de sécurité (altitude minimale de 12 mètres) est respectée.
• Question 4 : Évaluation critique d'une affirmation. Cette question de logique demande de justifier pourquoi une conclusion simple ("le drone n'a fait que descendre") est fausse en s'appuyant sur l'étude de fonction réalisée précédemment.

En résumé, ce sujet corrigé est un excellent entraînement pour le bac de Première STI2D, couvrant de manière exhaustive le chapitre sur la dérivation et l'étude de fonctions.