Découvrez une analyse complète et un corrigé détaillé de ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Première spécialité. Ce devoir, d'une durée de 2 heures, porte sur deux chapitres fondamentaux du programme : les polynômes du second degré et les probabilités conditionnelles. Idéal pour les révisions du baccalauréat, ce document vous permettra de vous exercer sur des problèmes concrets, d'identifier vos points faibles et de maîtriser les compétences clés attendues. Chaque exercice est décortiqué pour vous offrir une compréhension approfondie des méthodes de résolution.

Exercice 1 : Vrai ou Faux sur les Polynômes du Second Degré

Cet exercice est un QCM (Question à Choix Multiple) de type Vrai/Faux qui vise à évaluer votre maîtrise des propriétés fondamentales des trinômes du second degré. Une justification rigoureuse est demandée pour chaque réponse.

• Question 1 : On vous demande de déterminer si l'inégalité \(9x^2 - 6x + 2 > 0\) est vraie pour tout réel \(x\). La méthode consiste à étudier le signe du polynôme. Pour cela, il faut calculer son discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\). Si \(\Delta < 0\) et que le coefficient \(a\) est positif, alors le polynôme est toujours strictement positif.
• Question 2 : L'affirmation porte sur l'extremum de la fonction \(f(x) = -2x^2 + 8x - 1\). Il faut déterminer si elle admet un minimum de 7. L'étude du signe du coefficient dominant \(a = -2\) est cruciale : si \(a < 0\), la parabole est tournée vers le bas et admet donc un maximum, non un minimum. Le calcul des coordonnées du sommet \((\alpha, \beta)\) avec \(\alpha = -\frac{b}{2a}\) et \(\beta = f(\alpha)\) permet de trouver la valeur de cet extremum.
• Question 3 : Cette question, plus théorique, fait appel aux relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme \(ax^2 + bx + c\). En utilisant les formules de Viète, qui stipulent que la somme des racines \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) et que le produit des racines \(x_1 x_2 = \frac{c}{a}\), il faut vérifier l'égalité \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = -\frac{b}{c}\). Cela passe par la mise au même dénominateur des fractions.

Exercice 2 : Résolution d'Équations et Inéquations

Cet exercice est une application directe des techniques de résolution pour les équations et inéquations impliquant des polynômes du second degré.

• Question 1 : Il s'agit de résoudre l'équation \(x^2 + 4x = -2x - 9\). En regroupant tous les termes du même côté, on obtient une équation standard \(ax^2 + bx + c = 0\). On peut alors calculer le discriminant \(\Delta\) pour trouver les solutions. Un œil attentif reconnaîtra une identité remarquable.
• Question 2 et 3 : Ces questions portent sur la résolution des inéquations \(4x^2 + 3x > 0\) et \(-x^2 + 5x - 4 \ge 0\). La méthodologie est systématique : 1. Trouver les racines du polynôme en résolvant l'équation associée. 2. Dresser le tableau de signe du trinôme en utilisant la règle du "signe de \(a\) à l'extérieur des racines". 3. Conclure en donnant l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle(s).

Exercice 3 : Étude Graphique et Algébrique d'une Parabole et d'une Droite

Cet exercice complet mêle lecture graphique et résolution algébrique pour analyser l'interaction entre la parabole représentative de la fonction \(f(x) = 6x^2 - 15x + 7\) et la droite de la fonction affine \(g(x) = 4x - 3\).

• Partie A - Étude graphique : Après avoir tracé la droite, il faut interpréter graphiquement les solutions de l'inéquation \(f(x) \ge 0\) (les abscisses pour lesquelles la parabole \(C_f\) est au-dessus de l'axe des abscisses) et de l'équation \(f(x) = g(x)\) (les abscisses des points d'intersection des deux courbes).
• Partie B - Étude algébrique : Cette partie permet de confirmer et de préciser les résultats graphiques.
  • On résout algébriquement l'inéquation \(f(x) \ge 0\) avec la méthode du discriminant et du tableau de signe.
  • On trouve les coordonnées exactes des points d'intersection en résolvant l'équation \(f(x) = g(x)\), ce qui revient à résoudre l'équation du second degré \(6x^2 - 19x + 10 = 0\).
  • Enfin, on détermine la position relative de \(C_f\) et \(C_g\) en étudiant le signe de la différence \(f(x) - g(x)\). Le signe de cette expression indique quelle courbe est au-dessus de l'autre.

Exercice 4 : Problème d'Optimisation d'Aire

Ce problème de géométrie utilise le second degré comme outil de modélisation. Dans un carré de côté 10, on place des points \(M\) et \(N\) dont les positions dépendent d'une variable \(x\). L'objectif est d'étudier l'aire du triangle \(DMN\).

La démarche consiste à exprimer l'aire du triangle \(DMN\) en fonction de \(x\). Une stratégie efficace est de calculer l'aire du carré et de lui soustraire les aires des trois triangles rectangles aux coins (\(ADM\), \(BMN\) et \(CDN\)). On démontre ainsi que l'aire est une fonction polynomiale du second degré : \(A(x) = x^2 - 5x + 50\). La question finale demande de trouver la valeur de \(x\) pour laquelle cette aire est égale à 45% de l'aire du carré, ce qui conduit à la résolution de l'équation du second degré \(x^2 - 5x + 50 = 45\).

Exercice 5 : Application des Probabilités Conditionnelles

Le dernier exercice est un problème classique de probabilités conditionnelles dans un contexte de distribution d'échantillons de parfum. Il évalue la capacité à organiser les données, à construire un arbre pondéré et à appliquer les formules clés.

• Question 1 : La première étape est de traduire l'énoncé en termes de probabilités (\(P(F)\), \(P_H(A)\), etc.) et de construire l'arbre de probabilités correspondant.
• Question 2 : Il faut calculer la probabilité d'une intersection, \(P(H \cap A)\), en utilisant la formule \(P(H \cap A) = P(H) \times P_H(A)\), ce qui revient à suivre une branche de l'arbre.
• Question 3 : Cette question nécessite l'utilisation de la formule des probabilités totales pour calculer la probabilité de l'événement \(A\). On somme les probabilités des chemins menant à \(A\) : \(P(A) = P(F \cap A) + P(H \cap A)\).
• Question 4 : La question finale est un exemple d'inversion de conditionnement. On demande de calculer \(P_A(H)\) (la probabilité que le parfum soit pour homme sachant qu'il est de la marque Alpha), en utilisant la définition d'une probabilité conditionnelle : \(P_A(H) = \frac{P(H \cap A)}{P(A)}\).