Ce sujet de contrôle pour Première spécialité en mathématiques est une excellente ressource pour s'entraîner et réviser deux chapitres fondamentaux du programme : les polynômes du second degré et la trigonométrie. D'une durée de 50 minutes, ce contrôle évalue la capacité à résoudre des problèmes concrets et à manipuler des concepts théoriques. Retrouvez une analyse détaillée de chaque exercice pour comprendre les compétences attendues et les méthodes de résolution.
Exercice 1 : Résolution d'une inéquation quotient
Cet exercice est un grand classique sur les polynômes du second degré. Il s'agit de résoudre l'inéquation suivante :
$$ \frac{3x^2 - 7x + 2}{2x + 1} \ge 0 $$
Pour résoudre cette inéquation, la méthode consiste à étudier le signe de chaque partie de la fraction :
- Étude du numérateur : Le numérateur est un trinôme du second degré, \( P(x) = 3x^2 - 7x + 2 \). Il faut calculer son discriminant \( \Delta \) pour trouver ses racines, puis déterminer son signe en fonction de \(x\).
- Étude du dénominateur : Le dénominateur est une fonction affine, \( Q(x) = 2x + 1 \). On trouve facilement la valeur qui l'annule, qui est une valeur interdite pour la fraction.
- Tableau de signes : On dresse un tableau de signes qui récapitule les signes du numérateur, du dénominateur, et enfin du quotient. Cela permet de déterminer les intervalles sur lesquels l'inéquation est vérifiée.
Cet exercice teste la maîtrise des tableaux de signes et la résolution d'équations du second degré.
Exercice 2 : Problème d'optimisation avec une fonction du second degré
Cet exercice applique les connaissances sur les polynômes du second degré à un problème économique concret. Une entreprise fabrique des balançoires et on cherche à optimiser son bénéfice.
Les questions guident la résolution :
- Exprimer le bénéfice \(B(x)\) : Le bénéfice est la différence entre le revenu et le coût de production. Le revenu est \( R(x) = 300x \) et le coût est \( C(x) = x^2 + 230x + 325 \). Le bénéfice est donc une fonction polynomiale du second degré : \( B(x) = -x^2 + 70x - 325 \).
- Étudier les variations de \(B\) : L'étude des variations d'une fonction du second degré revient à trouver les coordonnées de son sommet. Comme le coefficient de \(x^2\) est négatif, la parabole est tournée vers le bas et le sommet correspond à un maximum.
- En déduire le bénéfice maximal : La valeur maximale du bénéfice est l'ordonnée du sommet de la parabole.
- Déterminer le seuil de rentabilité : Pour que l'entreprise soit rentable, son bénéfice doit être positif. Il faut donc résoudre l'inéquation du second degré \( B(x) > 0 \).
Cet exercice est un excellent exemple de problème d'optimisation, une application courante des fonctions du second degré.
Exercice 3 : Étude complète d'une fonction trigonométrique
Cet exercice porte sur l'analyse de la fonction \( f(x) = 2 \cos(x) - 1 \) et la résolution d'équations trigonométriques.
Les étapes de l'analyse sont les suivantes :
- Périodicité : Il faut démontrer que la fonction est périodique en montrant que \( f(x+T) = f(x) \) pour une certaine valeur \( T \) (ici \( T = 2\pi \)).
- Parité : L'étude de la parité consiste à comparer \( f(-x) \) et \( f(x) \). Ici, \( \cos(-x) = \cos(x) \), donc la fonction est paire.
- Encadrement de la fonction : En partant de l'encadrement connu \( -1 \le \cos(x) \le 1 \), on peut en déduire un encadrement pour \( f(x) \).
- Résolution d'équation : La dernière partie demande de résoudre l'équation \( f(x) = -2 \), ce qui se ramène à \( \cos(x) = -1/2 \). Il faut trouver les solutions sur l'intervalle \( [0; 2\pi] \), d'abord graphiquement puis par le calcul.
Exercice 4 : Utilisation des formules de trigonométrie
Le dernier exercice est un exercice technique de trigonométrie qui s'appuie sur les formules de duplication.
On part de la formule admise \( \cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a) \).
- Démontrer une formule de linéarisation : En utilisant la relation fondamentale \( \cos^2(a) + \sin^2(a) = 1 \), on doit établir la formule \( \cos^2(a) = \frac{1 + \cos(2a)}{2} \).
- Calculer des valeurs exactes : Cette nouvelle formule est ensuite utilisée pour trouver la valeur exacte de \( \cos(\frac{\pi}{8}) \). L'astuce est de choisir \( a = \frac{\pi}{8} \), ce qui fait apparaître \( \cos(2a) = \cos(\frac{\pi}{4}) \), dont la valeur est connue. On en déduit ensuite la valeur de \( \sin(\frac{\pi}{8}) \).
Cet exercice met en jeu la capacité à manipuler les identités trigonométriques pour résoudre des problèmes de calculs de valeurs exactes.