Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3

Introduction

Allez les amis, on est parti pour l'exercice le plus simple que vous pourrez jamais avoir en contrôle, c'est-à-dire un exercice où on vous donne un algorithme et vous devez trouver la suite qui lui est associée. On vous donne un petit algorithme qui commence avec une définition \(v = -2\), et une ligne qui est une expression de \(v\). On vous demande de préciser l'expression de la suite.

Comprendre l'algorithme

Dans les exercices comme ça, il y a deux choses qui doivent vous attirer l'attention. Premièrement, cette variable \(v\) et deuxièmement, cette ligne. On dirait qu'on demande à l'ordinateur de prendre une variable, qui s'appelle \(v\) et qui vaut -2, et de faire une opération dessus. Ensuite, on va répéter cette opération une fois. Donc, on va répéter l'opération une fois, \(v\) devient \(-v + 1\). Donc, \(v\) valait -2 au début, maintenant il vaut \(-(-2) + 1 = 3\). Ensuite, on recommence de le faire une fois, donc \(v\) vaut \(-3 + 1 = -2\), et ainsi de suite.

Expression de la suite

Donc clairement, ce qu'on vous donne ici, c'est l'expression de la suite. Est-ce que c'est une expression récurrente ou est-ce que c'est l'expression explicite ? Réfléchissez. Si c'était une expression récurrente, on aurait eu \(u_n\) en fonction de \(u_{n-1}\). Si c'était une expression explicite, on aurait directement \(u_n\) en fonction de \(n\). Est-ce que vous avez l'impression que ça ressemble plutôt à du \(u_n\) en fonction de \(u_{n-1}\) ou à du \(u_n\) en fonction de \(n\) ? Évidemment, ça ressemble à du \(u_n\) en fonction de \(u_{n-1}\), vu qu'on a la même lettre ici et ici. Donc, l'expression de ma suite récurrente, c'est juste le terme avant. La nouvelle valeur de \(v\) est égale à \(-v + 1\). Donc, si \(v_n = -v_{n-1} + 1\), sa nouvelle valeur est \(-v_{n-1} + 1\). Et qu'est-ce qui manque ? Vu qu'on était dans une expression récurrente, ce qui manque, c'est le premier terme. Le premier terme, c'est la première valeur de \(v\), et \(v_0 = -2\). Et hop, j'ai l'expression de la suite. Il y a vraiment une chance sur deux pour un contrôle que vous ayez besoin de faire quelque chose pas plus compliqué que ça, c'est-à-dire de regarder un algorithme et de donner directement l'expression de la suite qui lui est associée, éventuellement de le faire tourner une ou deux fois.