Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment résoudre un des exercices les plus fameux avec l'exponentielle : c'est le changement de variable. Quand j'ai un \(2X\) et \(X\), ici on se met pour écouter cet exercice.

Changement de variable

Si votre prof est sympa, il va vous dire ça en posant \(X = e^x\). Pourquoi est-ce qu'on fait ce changement de variable ? Pourquoi est-ce qu'on va passer les horaires de petit \(x\) à une variable grand \(X\) qui vaut \(e^x\) ?

Explication du changement de variable

Exponentielle de \(x\), moi je sais que j'ai le droit d'écrire \(e^{x^2}\). En effet, vous savez d'après leurs relations fonctionnelles que quand j'ai \(e^{a^b}\), j'ai le droit de multiplier les \(2x\) au carré, \(e^{2x}\). Sauf que si je décide que pendant ces \(2x = 0\), il ne va pas changer mon \(+ e^x\). Vu que \(e^x\) c'est grand \(X\), ça va me faire un grand \(X - 2 + 40X^2 + 2X^2\). Et ça me donne directement les racines qui sont non pas petit \(x\) mais grand \(X_1\) et \(X_2\). Quand ils vont \(-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC} / 2A\), \(-20 - \sqrt{9} = -3 / 2\), \(-20 - 3 = -4 / 2 = -2\), \(-1 + \sqrt{9} = 3 / 2\), \(-20 + 3 = -2 / 2\), ça fait j'ai mes deux racines. Maintenant que j'ai fait mon changement de variable et j'ai remplacé, je vais remplacer par \(f(2x) = -2\). Il n'y a pas de solution. Pourquoi ? Parce que vous savez que \(e^x\) est strictement positif. Donc une valeur de \(x = -2\) n'est pas une solution. Par contre, \(e^x = x\) se simplifie en \(x = 0\). Donc la solution de mon système c'est tout simplement le nombre zéro.

Conclusion

Voilà comment je prends le point pour régler ces problèmes là. On va vous donner le professeur. Si je pose \(X = e^x\), qu'est-ce qu'elle devient mon équation ? Je fais l'écriture, je me rends compte que en fait \(e^{x^2}\) sauf que je remplace là-dedans.